Das Dreieck auf dem Schachbrett -Hemmes mathematisches Rätsel -

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    • Das Dreieck auf dem Schachbrett -Hemmes mathematisches Rätsel -

      Das populärwissenschaftliche britische Magazin »New Scientist« erscheint seit 1956 jede Woche. Von 1967 bis 1977 enthielt es die Kolumne »Tantalizer« (= Peiniger) mit mathematischen und logischen Rätseln, die von Martin Hollis geschrieben wurden. Abgelöst wurden die Tantalizers von den Puzzles, die zwischen Mai 1977 und Februar 1979 wöchentlich im »New Scientist« erschienen. Seit dem 22. Februar 1979 findet man in dem Magazin eine Denksportkolumne mit dem Titel »Enigma« (= Rätsel), die einige Jahre lang von Eric Emmet, Martin Hollis und Stephen Ainley geschrieben wurde. Die Kolumne lief fast 35 Jahre lang, wenn auch die Autoren mehrfach wechselten. Am 28. Dezember 2013 erschien das 1780. und letzte »Enigma«. Das »Enigma« vom 26. August 2000 stammt von Keith Austin.

      Ein riesiges Schachbrett hat 100 000×100 000 Felder, die alle eine Seitenlänge von einem Zentimeter haben. Das untere linke Feld ist schwarz. Auf dieses Schachbrett wird ein Dreieck gezeichnet. Der erste Eckpunkt dieses Dreiecks liegt auf der unteren linken Ecke des Brettes, der zweite am unteren Rand des Brettes im Abstand von 97 531 cm von der ersten Ecke und der dritte am linken Rand des Brettes im Abstand von 13 579 cm von der ersten Ecke. Um wie viel Quadratzentimeter ist der schwarze Anteil der Dreiecksfläche größer als der weiße?

      Zu finden auch unter: spektrum.de/raetsel/das-dreieck-auf-dem-schachbrett/1712370

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    • Ich mache mal einen Lösungsversuch:

      Die Ecken des Dreiecks liegen bei (0/0), (97531/0), (0/13579). Ich nehme jetzt den Punkt (97531/13579) hinzu und erweitere damit das Dreieck zu einem Rechteck, das die doppelte Fläche des Dreiecks hat. Denn ich füge dem ersten Dreieck ja ein kongruentes zweites Dreieck hinzu.

      Die Eckfelder des Rechtecks sind alle schwarz, denn sie haben einen ungeraden Abstand in cm von der linken Ecke.

      Jedes Rechteck auf dem Schachbrett, dessen Ecken alle schwarz sind, hat ein schwarzes Feld mehr als es weiße Felder hat. Das kann man sich mit kleinen Rechtecken (z.B. 5 x 3) sehr leicht verifizieren.

      Das Rechteck in unserer Aufgabe hat also einen schwarzen Anteil, der um 1 Quadratzentimeter größer ist als der weiße. Was bedeutet das nun für das Dreieck?

      Das Rechteck wird durch die Diagonale von (97531/0) nach (0/13579) in zwei exakt gleiche Dreiecke geteilt. Damit ist auch der Anteil der weißen und schwarzen Flächen gleichgroß. Der Unterschied von 1 Quadratzentimeter im Rechteck muß sich also zu gleichen Teilen auf die beiden Dreiecke verteilen.

      Im Dreieck überwiegt also der schwarze Anteil den weißen Anteil um 0,5 Quadratzentimeter.