Matheaufgabe

@Gambitspieler

Tja, das ist es wohl, was diese Probleme so verwirrend und die exakten Lösungen dann mitunter so echt überraschend macht.

Eine kleine Variation des Auto-/Ziegenproblems in der Spieleshow:

Wir haben einen faulen Moderator. Dieser Moderator will nicht weit laufen.
Daher geht er zur ihm nächstgelegenen Tür, hinter der eine Ziege steht, und öffnet sie. Der Kandidat weiß das durch vorherige Shows oder durch vorherige Bekanntgabe. Ansonsten unverändert.

Wir haben Tür 1, Tür 2, Tür 3. Der Moderator stehe bei Tür 3.
Der Kandidat will dem Moderator weite Wege abnehmen und wählt einfach Tür 1 aus.

Wie soll nun die Strategie des Kandidaten aussehen? Wir können sie davon abhängig machen, welche Tür der Moderator öffnet.

1. Der Moderator öffnet Tür 2. Soll der Kandidat bei seiner bisherigen Wahl bleiben, oder wäre ein Wechsel besser?
2. Der Moderator öffnet Tür 3. Soll der Kandidat bei seiner bisherigen Wahl bleiben, oder wäre ein Wechsel besser?
3. Welche Erfolgswahrscheinlichkeit hat eine optimale Strategie?

Danke für die Antworten!

Zu 1. Der Moderator öffnet Tür 2. Soll der Kandidat bei seiner bisherigen Wahl bleiben, oder wäre ein Wechsel besser?

Richtig, natürlich wechseln. Wenn hinter Tür 3 eine Ziege stünde, würde der Moderator Tür 3 wählen. Er hat aber Tür 2 gewählt. Also muss hinter Tür 3 das Auto stehen. Erfolgsquote 100 %.

Zu 2. Der Moderator öffnet Tür 3. Soll der Kandidat bei seiner bisherigen Wahl bleiben, oder wäre ein Wechsel besser?

Hinter Tür 3 steht also eine Ziege. Dann stehen Auto und Ziege hinter Tür 1, Tür 2, oder hinter Tür 2, Tür 1.
Beides ist gleich wahrscheinlich. Also ist es egal, was der Kandidat macht.
Er kann die Strategie verfolgen, bei seiner Wahl zu bleiben, oder die Strategie des Wechselns, oder irgendeine Mischung -- bei vielen Spielen (stets mit Ziege in Tür 3) führt das in ca. 50 % zum Erfolg.

3. Welche Erfolgswahrscheinlichkeit hat eine optimale Strategie?

Die optimale Strategie wechselt, wenn der Moderator Tür 2 öffnet (Fall 1), ansonsten beliebig.
Diese haben alle Erfolgswahrscheinlichkeit 2/3.

Nachweis: Der Fall 1, das Auto steht hinter Tür 3, tritt mit Wahrscheinlichkeit 1/3 auf.
Die Erfolge beim Wechseln haben also eine Häufigkeit von 1/3 x 1
(1 = Erfolgswahrscheinlichkeit beim Wechseln in diesem Fall).

Der Fall 2, dass eine Ziege hinter Tür 3 steht, oder äquivalent, dass das Auto hinter Tür 1 oder Tür 2 steht, tritt mit W'keit 2/3 auf.
Unter dieser gegebenen Voraussetzung ist die W'keit, dass das Auto hinter Tür 2 steht, 1/2.
Die Erfolgswahrscheinlichkeit des Wechselns ist also 2/3 x 1/2 = 1/3.
Die Erfolgswahrscheinlichkeit beim Nicht-Wechseln ist genauso hoch.

Diese evtl. verschiedenen Gesamtstrategien sind alle optimal mit derselben Erfolgswahrscheinlichkeit 1/3 + 1/3 = 2/3.

Es gibt auch ein allgemeines Argument für diesen und weitere Fälle, das aber schwierig ist.

Dies ist das Argument von @Butjenter.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kandidat bereits bei seiner ersten Wahl von Tür 1 richtig lag, ist 1/3.
Danach ist vorgegeben, dass der Moderator Tür 2 oder Tür 3 öffnet, hinter der dann eine Ziege steht.
Dies steht bereits vor der zufälligen Verteilung ganz zu Anfang von Auto und Ziegen fest.
Wenn dies bereits zu Anfang feststand, kann uns diese zusätzliche Information keinen Gewinn bringen.
Wenn wir bei Tür 1 bleiben, bleibt die Gewinnwahrscheinlichkeit so groß wie am Anfang, also 1/3.
Ein Wechsel hat also Erfolgswahrscheinlichkeit 2/3.

Das Seltsame ist: Es kann durchaus zusätzliche Information liefern, dass der Moderator Tür 2 öffnet; beim faulen Moderator steht dann hinter Tür 3 das Auto.
Aber die Tatsache, dass der Moderator Tür 2 *oder* Tür 3 öffnet, steht von Anfang an fest, kann daher keine zusätzliche Info geben -- sonst würde das bereits in die Ursprungswahrscheinlichkeit eingehen. Daher bleibt diese insgesamt unverändert.
Richtig, @Butjenter?

Das Überraschende ist: Dieses Argument funktioniert in jedem Fall, auch für Moderatoren mit unterschiedlichem Verhalten.

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Nun könnte man auch Moderatoren betrachten, die sich in Szene setzen wollen und daher lieber weite Wege zurücklegen. Also: der Moderator steht bei Tür 3, aber wenn hinter Tür 2 eine Ziege steht, geht er mit Sicherheit oder mit hoher Wahrscheinlichkeit dorthin.

Dann erhält man die analogen Strategien und Resultate, wobei man Tür 2 und Tür 3 vertauschen muss.
Wenn dieser Moderator also Tür 3 wählt, dann muss hinter Tür 2 das Auto stehen, und wir sollten unbedingt auf Tür 2 wechseln.
Nur wenn wir wissen, dass dieser Moderator immer diese Strategie verfolgt, ist es egal, was wir machen, wenn der Moderator Tür 2 wählt. Wenn wir nicht sicher sind, sollten wir wechseln.
Gesamt-Erfolgswahrscheinlichkeit beim Wechseln ist wieder 2/3.

bei dem Problem Klassenfest und Verletzungsgefahr bin ich jetzt weiter. (hoffentlich!!!!)

Die Frage, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 2 gezogenen Kugeln mindestens 1 gelbe dabei ist, bedeutet doch, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich ein Bastler als zweites verletzt. Butjenter gibt als Ergebnis 27,23% an

Mit meinem Lösungsansatz 100:x (Summe der vorhandenen Kugeln) mal y (Zahl der vorhandenen Kugeln) beantwortet zwar die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, das sich zuerst ein Bastler, ein Fussballer oder ein Skater verletzt,1/7=14,29% 3/7=42,86%, 3/7 42,86% . hat sich aber der erste Schüler verletzt= ist die erste Kugel gezogen, muss ich aber die Anzahl der Murmeln jeder Gruppe in Verhältnis zueinander und zur Gesamtzahl der Murmeln setzen.

Ich frage mal ganz konkret: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Bastler als 13.Schüler verletzt? Das bedeutet, vor ihm haben sich 12 andere verletzt. Die können dann ja nur aus der Gruppe der Fussballer oder der Skater sein.
Die Skater haben ein doppelt so hohes Risiko, wie die Fussballer. Das bedeutet wahrscheinlich haben sich alle 6 Skater verletzt, und damit auch 6 Fussballer.Die ergibt dann die höchste Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Bastler als 13. verletzt.

von den ursprünglich 56 Schülern verbleiben also 8 Bastler, 6 Fussballer und 0 Skater. In seinem Säckchen habe ich also 8 gelbe und 12 blaue Murmeln und keine Schwarze. 8,12,20 kgV =120 So erhalte ich 48/120 für gelb und 72/120 für blau.Die Wahrscheinlichkeit für die nächste gelbe Murmeln 100:120x 48 beträgt = 40% für die Bastler und 100:120=60% für die Fussballer. das ist die höchste Wahrscheinlichkeit für die Bastler, die niedrigste Wahrscheinlichkeit errechnet sich wie folgt: es haben sich alle 12 Fussballer verletzt, dann ergibt sich 8 ,0,24,32 kgV 32
8/32 und 24/32= 1/4= 25% und 3/4=75% ich könnte jetzt alle Möglichkeiten berechnen z. B 8 Fussballer und 4 Skater verletzt oder 10 Fussballer und 2 Skater, die summe bilden und durch die Anzahl der Möglichkeiten teilen, so viel Arbeit möchte ich mir ersparen(darf ich dies oder passt dies Lösungsansatz nicht zum Problem) und deshalb behaupte ich "die Wahrscheinlichkeit für einen Bastler , sich als 13 Schüler zu verletzten , beträgt zwischen 40% und 25%

dann frage ich: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit , dass sich ein Bastler als 7. Schüler verletzt? Das bedeutet, vor ihm haben sich 6 andere verletzt. Die können nur aus der Gruppe der Fussballer oder der Skater sein. Die Skater haben ein doppelt so hohes Risiko wie die Fussballer. Wenn sich die 6 Skater verletzt haben ergibt sich die sich für einen Bastler die höchste Wahrscheinlichkeit, sich als 7. zu verletzen.
von den ursprünglich 56 Schülern verbleiben also 8 Bastler, 12 Fussballer und 0 Skater. In dem Säckchen habe ich also 8 gelbe und 24 blaue Murmeln und keine Schwarze. 8,24,32 kgV = 96 24/96= 1/4=25% und 72/96= 3/4=75%
die niedrigste Wahrscheinlichkeit für die Bastler ergibt sich, wenn sich 6 Fussballer verletzen: 8,12,24, 44 kgV 264= 48/264=18,18% 72/264= 27,27% 144/264=54,55
deshalb die Behauptung die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Bastler als 7. verletzt beträgt zwischen 25% und 18,18%.

Ich frage ganz konkret: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Bastler als 3. Schüler verletzt. günstigster Fall der 1. und der 2. Verletzte waren Skater. Dann habe ich noch 8 Bastler, 12 Fussballer und 4 Skater, bedeutet 8 gelbe 24 blaue und 16 schwarze Murmeln
8,24,16,48 kgV48, 1/6= 16,33% 3/6= 50%, 1/3= 33,33%.
die niedrigste wahscheinlichkeit fürden 3. Bastler ergibt sich, wenn sich sich 2 Fussballer zuerst verletzen: 8,20,24,52 kgV 1560, 240/1560=15,38% 600/1560=38,46% 720/1560 46,15% , deshalb die Behauptung, die Wahrscheinlichkeit , das sich ein Bastler als 3. verletzt , liegt zwischen 16,33% und 15,38%

jetzt aber: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Bastler als 2. Schüler verletzt: der 1. Verletzte ist wieder ein Skater. also 8 gelbe 24 blaue 20 schwarze Murmeln,52 kgV beträgt 1560, 240/1560=15,38% 720/1560=46,15% 600/1560=38,46
der 1. verletzte ist eine Fussballer. also 8, 22,24.54 kgV 2376, 352/2376=14,81% 968/2376=40,74%. Die Wahrscheinlichkeit für einen Bastler, sich als 2. zu verletzten beträgt zwischen 15,38% und 14,81%

jetzt frage ich , wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Fussballer als 2. verletzt? Ein Skater verletzt sich als 1. verbleiben 4,24,20,52 kgV 1560, 240/1560=15,38% 720/1560=46,15% 600/1560=38,46%

ein Bastler verletzt sich als 1. verbleiben 7,24,24,55 kgV 9240 1176/9240=12,73 4032/9240= 43,63% 4032/9240 43,63%

ich erhalte also durch Probieren für die Frage "wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Bastler als 7.Schüler verletzt" den Wert kleiner,gleich 25%. Für die Frage "wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Bastler als 2.Schüler verletzt" den Wert kleiner, gleich 14,81%

Wo ist mein Denkfehler?

Butjenter beantwortet die Frage "wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich 1 Bastler als 2. verletzt " mit 27,23 %. Bei mir ist der Wert mit 25% schon kleiner bei der Frage nach der W, dass sich ein Bastler als 7. Schüler verletzt?

P.S. ich habe oben das kgV aus 8,24,32 mit 96 angegeben , war ein Versehen, ist aber egal, ob Basis 32 oder 96, das Ergebnis bleibt 25% und 75%

Zur Gegenfrage: Bei der allerersten Wahl hatte der Kandidat mit Tür 1 Gewinnchancen von 1/3.

In dieser Situation hat der faule Moderator Tür 3 geöffnet, dort steht eine Ziege.
Dann ist die Gewinnchance bei der abermaligen Wahl von Tür 1 50 % und bei der neuen Wahl von Tür 2 auch.

Zur 2. Frage: Dies bezieht sich auf die Ausgangssituation, die allererste Wahl des Kandidaten.

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Beim Standardfall, dem ausgeglichenen Moderator, der zufällig zwischen Tür 2 und Tür 3 entscheidet (sofern dort eine Ziege steht), ist das anders.

Wenn er Tür 3 öffnet, ist der Gedanke verführerisch, dass - wie beim faulen Moderator - die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 1 steht, genauso groß wie dass es hinter Tür 2 steht, also 1/2. Dann wäre es egal, ob wir wechseln oder nicht.

Dass der Moderator Tür 3 öffnet, kann hier auf zwei verschiedene Weisen passieren.

1. Wenn das Auto hinter Tür 1 steht, wählt der Moderator zufällig aus, ob er Tür 2 oder Tür 3 öffnet. Also öffnet er Tür 3 mit Wahrscheinlichkeit 1/2.

2. Wenn das Auto aber hinter Tür 2 steht, muss der Moderator Tür 3 öffnen, denn der Kandidat hatte ja auf Tür 1 gezeigt und der Moderator muss eine andere Tür öffnen, hinter der eine Ziege steht. Tür 3 wird in diesem Fall also mit Wahrscheinlichkeit 1 geöffnet.

Damit wird die Tür 3 im Fall 2 doppelt so häufig geöffnet (nämlich immer) wie im Schnitt im Fall 1.
Wenn also Tür 3 geöffnet wird, können wir umgekehrt schließen, dass Fall 2 in doppelt so vielen Fällen wie in Fall 1 vorlag.

Da Fall 1 (das Auto steht hinter Tür 1) die W'keit 1/3 hat, steht es im Fall des Öffnens von Tür 3 mit W'keit 2/3 hinter Tür 2. Daher sollten wir wechseln.

@Gambitspieler

die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Bastler als 1.verletzt liegt bei 14,29% . das sind die 8 Bastler im vergleich zur gesamtzahl der 56 kugeln= 1/7

also fragt er doch nach W, das der zweite Verletzte ein Bastler ist. Denn die Wahrscheinlichkeit, wenn der 1. Verletzte ein Bastler ist, dass sich auch ein Bastler als 2. verletzt wird doch kleiner und beträgt 12,73%, siehe oben in meinem Beitrag viertletzter Satz

sind die ersten beiden Verletzen Bastler, ergibt sich doch die Wahrscheinlichkeit für den dritten Verletzten wie folgt: 6 Bastler, 24 Fussballer, 24 Skater Gesamtzahl 54 kgV 216 24/216= 11,11% 96/216= 44,44% 96/216=44,44%

Ausser, mein Lösungsansatz ist falsch! dann bitte aber sagen, wo mein Denkfehler liegt!

@Gambitspieler

Habe etwas übersehen und den Text geändert. Diese Wahrscheinlichkeit ist beim ausgeglichenen Moderator doch 2/3, nicht 1/2.

In Deinem Fall mit den 100 Türen nehme ich mal an, der Kandidat zeigt auf Tür 1 und es wurden die Türen 3,...,100 geöffnet. Das Auto kann also nur hinter Tür 1 oder Tür 2 stehen. Sollte der Kandidat wechseln?

Wenn das Auto hinter Tür 1 steht, muss ja eine der Türen 2,...,100 geschlossen bleiben. Die W'keit dafür ist beim ausgeglichenen Moderator für jede Tür gleich, also 1/99. Damit bleibt die Tür 2 nur mit W'keit 1/99 geschlossen.

Wenn das Auto hinter Tür 2 steht, bleibt Tür 2 stets geschlossen, also 99x häufiger als im Schnitt im vorherigen Fall.

Wen also Tür 2 geschlossen bleibt, können wir umgekehrt schließen, dass dies viel häufiger dadurch passiert, dass das Auto hinter Tür 2 steht als hinter Tür 1. Also sollten wir unbedingt wechseln.

Wenn der Moderator aber faul ist und stets die ihm nächsten Türen mit Ziegen öffnet, also Türen 100, 99, 98, ..., sollten wir, wenn er Tür x geschlossen lässt, diese öffnen; falls der Moderator aber Türen 3,...,100 öffnet, ist es egal, ob wir uns für Tür 1 oder für Tür 2 entscheiden.

bei dem Klassenfestproblem

die Bastler sind so ungeschickt, die brechen sich die Finger beim Naseboren. obwohl die Fussballer das doppelte Verletzungsrisiko und die Skater das vierfache Verletzungsrisiko haben, sind nach einiger Zeit schon 6 Bastler verletzt. Die Fussballer und die Skater sind noch mopsfidel, schiessen ein Tor nach dem Anderen und vollführen irre Moves.

wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der 7. Verletzte ebenfalls einer der Bastler ist.


ich versuche mal eine Lösung: 2 gelbe Murmeln =2 Bastler 24 blaue Murmeln=12 Fussballer 24 schwarze Murmeln= 6 Skater = 50 Murmeln kgV 600 ergibt 24/600= 4% 288/600= 48% 288/600= 48%

nachdem der 7. verletzte Bastler am Boden lag und sich der 8. Bastler beim Versuch, seinem Kumpel aufzuhelfen, einen Hexenschuss zuzog, sind nur noch die Bewegungsfreaks im Einsatz.1. Frage: Wieviele Kalorien haben der 6. Fussballer und der 2. Skater bisher verbraucht.
Dabei soll gelten: nach 2,5 Stunden bastelt niemand mehr, der Grundverbrauch der Fussballer beträgt durchschnittlich 2200 kcal am Tag, die Skater verbrauchen 2400 kcal, eine Stunde Sport erhöht den Verbrauch um 20%. 2.Frage:Wie heisst die Katze des 5. Skaters? dabei soll gelten:
50% aller Katzen heissen Muschi, 1/6 heissen Mieze, 16,666% heissen Dorle die restlichen heissen Stromer, Kitkat, Peterle, Chupette, Jean-Baptiste und Karl-Heinz

P.S.Ja, ne, na klar, war spass, vergesst bitte den letzten Teil

@ManuelDreyer

Du fragst, wo ist mein Denkfehler?

Warum schwenkst du auf so uninteressante Fragen wie mit dem 7. Verletzten um, die du dann auch falsch rechnest? Versuche doch mal bitte meinen Post 162 mit der Lösung Schritt für Schritt nachzuvollziehen. Fragen dazu beantworte ich gerne. VG

@Patzer zum Problem "der Weg nach Rom"

neben der im Spoiler genannten Frage gibt es noch eine weitere Möglichkeit, den richtigen Weg zu erfragen

@Butjenter

Wenn ich die ganz konkrete Frage stelle, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Bastler als 7. verletzt, bedeutet das doch, es haben sich vorher 6 verletzt und die können nur aus der Gruppe der Fussballer und Skater stammen. Sind wir uns soweit einig? Wenn ja, geht es weiter mit der Frage nach den Möglichkeiten: 1. Möglichkeit 6 Skater 0 Fussballer 2.Möglichkeit 5 Skater 1 Fussballer 3. Möglichkeit 4 Skater und 2 Fussballer 4. Möglichkeit 3 Skater und 3 Fussballer 5. Möglichkeit 2 Skater und 4 Fussballer 6. Möglichkeit 1 Skater und 5 Fussballer 7. Möglichkeit 0 Skater und 6 Fussballer . Ist dies für dich nachvollziehbar? Wenn nein, beantworte ich gerne Fragen dazu.

Wenn ja, rechne ich erst den Fall, der die höchste Wahrscheinlichkeit für das Verletzungsrisikos eines Bastlers ergibt, und das ist die Möglichkeit 1. Für mein Säckchen mit den Murmeln bedeutet dies 8 gelbe Murmeln 24 blaue Murmeln 0 schwarze Murmeln = Gesamtsumme 32
das kleinste gemeinsame Vielfache von 8,24,32 beträgt 96, und ich erhalte 24/96 und 72/96 oder anders ausgedrückt 0,25 und 0,75 oder anders 25% für den die Bastler und 75% für die Fussballer.

Die niedrigste Wahrscheinlichkeit für das Verletzungsrisikos eines Bastler besteht bei Möglichkeit 7. Für mein Säckchen mit Murmeln bedeutet dies 8 gelbe Murmeln 12 blaue Murmeln und 24 schwarze Murmeln= Gesamtsumme 44 das kleinste gemeinsame Vielfach von 8,12,24,44 beträgt 264, und ich erhalte 48/268 72/268 144/268 oder anders ausgedrückt 0,18 0,27 0,55 oder anders 18% für die Bastler, 27% für die Fussbaler und 55% für die Skater.

Und wenn die höchste und niedrigste Wahrscheinlichkeit 25% und 18% beträgt für die Wahrscheinlichkeit dass sich ein Bastler als 7. Schüler verletzt, dann kann die Wahrscheinlichkeit dass sich 1 Bastler als 2. Schüler (mindestens 1 gelbe beim 2. ziehen)verletzt doch unmöglich 27,23% betragen.

Auf die Frage, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für einen Bastler beträgt, sich als 3 Schüler zu verletzten habe ich im Beitrag 229 geantwortet: zwischen 16,33% (höchste Wahrscheinlichkeit) und 15,38% (niedrigste Wahrscheinlichkeit).

Grundsätzlich gilt doch, wenn ich definiere, es haben sich x Schüler verletzt und darunter befindet kein Bastler, spielt doch nur die Zahl der Verletzten und deren Wertigkeit eine Rolle und nicht die Reihenfolgen. Ausnahme: bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für den 2. Bastler, denn da ist 1 Verletzer bereits vorhanden und das ist entweder ein Fussballer oder Skater. Bei der Bestimmung W für einen Bastler sich als 3. Schüler zu verletzen gibt es doch nur drei Möglichkeiten: es haben sich 2 Skater verletzt, es haben sich 2 Fussballer verletzt und es haben sich 1 Skater und 1 Fussballer verletzt oder 1 Fussballer verletzt. die Wertigkeit der Paare 1 Skater 1 Fussballer beträgt 4 und 2 = 6 , Die Wertigkeit bei 1 Fussballer 1 Skater beträgt 2 +4= 6 , also gilt doch SF =FS . Bei der Frage nach dem 7. Verletzten gibt es doch wie oben beschrieben 7 Möglichkeiten, ich habe aber eben immer nur 7 Paare, es spielt doch keine Rolle
ob sich erst 2 Skater verletzt haben und dann 4 Fussballer, oder erst 4 Fussballer und dann 2 Skater, die Wertigkeit bleibt gleich 2 Skater=8 Murmeln, 4 Fussballer =8 Murmeln, und das ändert sich auch nicht wenn die Reihenfolge 1 Skater 4 Fussballer 1 Skater oder 1 Skater,
3 Fussballer und 1 Skater.

Leider nein, es könnten doch auch schon ein oder mehrere Bastler unter den ersten 6 gewesen sein.

Oder meinst du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste verletzte Bastler der 7. Verletzte ist?

Schweift aber alles m.E. vom Thema ab, da wir nur zwei Verletzte haben. Versuche lieber Post 162 zu verstehen. VG

Das betrifft den Fall: Kandidat wählt Tür 1, Moderator Tür 3.
Hierfür ist die Gewinnwahrscheinlichkeit (wie schon dargestellt) 50 %.

Im allgemeinen Fall kann der Moderator auch Tür 2 öffnen, weil das Auto hinter Tür 3 steht.
Das taucht in 1/3 der Fälle auf. In diesem Fall wechselt der Kandidat natürlich.
Dadurch ist die Gesamt-Gewinnwahrscheinlichkeit bei optimalem Verhalten wieder 2/3.