Matheaufgabe

Eine interessante neue Aufgabe:




Für welche Zahlenwerte der Variablen ist die Gleichung korrekt?

Hinweis: Es gibt 3 Lösungen für , die diese Bedingung erfüllen.

Viel Spaß!

Wunderschön, aber ziemlich schwer!

Die 3. Lösung ist ein komplizierter Dezimalbruch. Kann man ihn einfacher schreiben?

Man kann ziemlich leicht zeigen, dass er nicht rational ist, d.h. kein normaler Bruch, und dann mit dem in Matheaufgabe angegebenen Satz und einem Zusatzresultat, dass er nicht algebraisch ist, also z.B. auch keine Wurzel aus normalen Brüchen, und damit *sehr* kompliziert !

Zu der schwierigen Suche nach der 3. Lösung ein guter Film der sympathischen Magda, in der sie diese mit der W-Funktion explizit berechnet. Ich hätte es nicht gekonnt.

Ja, die Frage ist, wie kommt man auf die Lösung und wie berechnet man sie.
Das geht mit der Lambertschen W-Funktion, die ich ehrlich gesagt vorher auch nicht kannte (kannte sie jemand? woher?).
Da ich im Internet nur Teile hierzu fand, hier eine möglichst einfache Einführung.
Soll nur Schulwissen (aus der Oberstufe) verwenden.

Wir betrachten die Funktion f(x) = xe^x,
zunächst mit dem Definitionsbereich [0, unendlich), also die positive reelle Achse inkl. 0.

Es ist f(0) = 0 und f(x) --> unendlich für x --> unendlich.
Da f stetig, sogar beliebig häufig differenzierbar ist,
nimmt f nach dem Zwischenwertsatz jeden positiven y-Wert als Funktionswert an;
daher ist der Wertebereich ganz [0, unendlich).
Ferner ist f'(x) = xe^x + e^x > 0 auf dem Definitionsbereich,
also f streng monoton wachsend.

Damit ist f: [0, unendlich) --> [0, unendlich) bijektiv,
und die Umkehrfunktion ist ebenfalls streng monoton wachsend und differenzierbar.

Diese Umkehrfunktion W: [0, unendlich) --> [0, unendlich) von f ist die Lambertsche W-Funktion.

Es gilt also W(f(x)) = x, also W(xe^x) = x für alle positiven reellen Zahlen x (inkl. 0).

Die Funktion W ist so "ähnlich" wie der Logarithmus ln, der die Gleichung ln(e^x) = x erfüllt,
erfüllt aber die obige kompliziertere "Produkt-Logarithmus-Gleichung".

Ersetzt man hier x durch y und dann y durch einen Ausdruck a(x) > 0, der von x abhängt, erhält man

W( a(x) e^a(x) ) = a(x)

und diese Gleichung wird in dem schönen Video von Magda verwendet: Ansehen lohnt sich!

Dabei versucht man, mit Hilfe des Logarithmus die Ausgangsgleichung in obige Form mit a(x) umzuformen.
Ein wichtiges Problem ist dabei, dass der Logarithmus ln(x) nur für positive x definiert ist!

Zusatz: Für die Funktion f (mit Definitionsbereich ganz \R) gilt f'(x) = 0 gdw x = -1.
Daher ist f sogar auf dem Intervall [-1, unendlich) streng monoton steigend mit Wertebereich [-1/e, unendlich).
Die W-Funktion ist daher sogar auf [-1/e, unendlich) definiert. Es ist -1/e ungefähr -0,37.

Wie berechnet man die W-Funktion?

Man kann die Taylorreihe von W verwenden. Diese hat um den Nullpunkt aber einen Konvergenzradius nur von 1/e.
Daher nimmt man wohl besser das Newton-Raphson-Verfahren, das schnell konvergiert.
Und hieraus ergibt sich der oben angegebene 3. Lösungswert der Ausgangsgleichung x^2 = 2^x.

Offenbar kann man die Seite wolframalpha.com/ zur Berechnung verwenden.

Weiteres zur Lambertschen W-Funktion:

de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion

@Butjenter: Sehr schön, das Video von Magda!
Ich hätte das auch nicht gekonnt. Von der Lambertschen W-Funktion höre ich zum ersten Mal.
Da ist die Intervallschachtelung, nämlich die Werte von x^2 und von 2^x einander immer weiter anzunähern, natürlich nur eine Krücke.

Zur Entspannung von den schwierigen Problemen nun eine kleine Anekdote aus dem Leben des berühmten Mathematikers und Astronomen Carl Friedrich Gauß:

In der Schule wandte sich einmal sein Rechenlehrer an den jungen Gauß und sagte: "Carl Friedrich, ich stelle dir jetzt zwei Fragen. Wenn du die erste richtig beantwortest, dann erlasse ich dir die Beantwortung der zweiten. Also: Wieviel Nadeln hat die Weihnachtstanne auf dem Schulhof?"
Ohne zu zögern, antwortete Gauß sofort: "67538."
Darauf der verdutzte Rechenlehrer: "Wie bist du denn so schnell auf diese Zahl gekommen?"
Gauß lächelte verschmitzt und sagte: "Aber Herr Lehrer, das ist doch bereits Ihre zweite Frage!"

Lamberts W-Funktion tritt in der Realität bei verschiedenen klassischen Fragen auf.

1. Angenommen, wir werfen einen Ball oder schießen eine Kanonenkugel. Mit welchem Abwurfwinkel fliegt der Ball / die Kanonenkugel am weitesten?

Das haben bereits Tartaglia um 1537 und Galileo um 1638 untersucht, als die Mechanik entstand (auch militärisch motiviert durch Fragen von Kanonieren). Tartaglia erhielt keine korrekte Lösung der Bewegungsgleichungen, aber den korrekten Winkel. Galileo löste auch die Bewegungsgleichungen.

Der Winkel beträgt 45 Grad -- wenn man den Luftwiderstand vernachlässigt.
Was passiert, wenn man den Luftwiderstand auch berücksichtigt?

Im einfachsten Fall erfolgt die Änderung der Geschwindigkeit dann nicht nur durch die Gravitation, sondern hängt auch direkt (mit konstantem Faktor) von der derzeitigen Geschwindigkeit selber ab. (Man erhält den vorherigen Fall, wenn man den Faktor = 0 setzt.)

Die Bewegungsgleichungen (wo befindet sich der Ball zum Zeitpunkt t) werden komplizierter, lassen sich aber lösen. Sie enthalten nun die exp-Funktion.

Wie bestimmt man, in Abhängigkeit vom Luftwiderstand, den optimalen Winkel?

Eine Lösung wurde 1996 von Groetsch im "American Math Monthly" angegeben, der zu Anfang auch die Geschichte um Tartaglia beschreibt:

researchgate.net/publication/3…lem_in_a_Resistive_Medium

Packel und Yuen zeigten 2004 im "College Mathematics Journal" eine explizite Lösung für den optimalen Winkel mit Hilfe von Lamberts W-Funktion:

math.lfc.edu/~yuen/prof/cmj337-350.pdf

Übrigens: Die Kanoniere zur Zeit von Tartaglia hatten den Eindruck, dass die maximale Weite bei einem Winkel unter 45 % erreicht wird. Ohne Luftwiderstand ist es 45 % -- aber mit Luftwiderstand liegt der optimale Winkel darunter, die Kanoniere hatten recht!

2. Wie hängen Strom und Spannung bei einem einfachen Widerstand zusammen?
Dies ist die einfache Formel U = R x I mit U = Spannung, R = Widerstand, I = Strom, die man aus der Schule kennt.

Wie sieht es in einer Diode aus? Dort hängt der Widerstand von den derzeitigen Werten von Strom und Spannung ab.

Eine Lösung für I wird komplizierter, wurde aber Banwell und Jayakumar im Jahr 2000 in "Electronics Letters" mit Hilfe von Lamberts W-Funktion angegeben:

digital-library.theiet.org/con…rnals/10.1049/el_20000301

(Leider ist das hinter einer Bezahlschranke.)

3. Es gibt Vorschläge von Mathematikern, Lamberts W-Funktion als eine weitere "Grundfunktion" (wie exp, sin, cos, ...) einzustufen. Ein Übersichtsartikel von Hayes im "American Scientist" 2005 mit dem einfachen Titel
"Why W?" ist

americanscientist.org/sites/am…les/2005216151419_306.pdf

Um bei Karl-Friedrich Gauß zu bleiben:

Sein Lehrer hatte keine Lust zum arbeiten und dachte sich, gebe ich den Kindern mal eine Aufgabe, an der sie die ganze Stunde rechnen müssen:

Berechne die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 100!

Zu seinem Erstaunen meldete sich Fritzchen nach wenigen Sekunden und nannte das richtige Ergebnis: 5050

Wie hat Karl-Friedrich das gemacht?

Ach ja, der gute Gauß, die Anekdoten sind nett, aber beide wahrscheinlich erfunden. Ich habe einen Artikel über sein Leben und Wirken mitverfasst, bei Interesse bitte ne PN.

Zum Wochenende mal eine meiner Lieblingsaufgaben, an der erstaunlich viele scheitern.

Tom ist 7 Jahre alt und wohnt in Amerika am A..... der Welt. Er ist Einzelkind und es gibt nur ein Haus in direkter Nachbarschaft, alle anderen sind unerreichbar für ihn. In dem Haus wohnt ein kinderloses Ehepaar, Tom hat somit keinen Spielpartner. Eines Tages erzählen ihm seine Eltern, dass im Nachbarhaus neue Leute wohnen, ein Ehepaar mit zwei Kindern in seinem Alter. Tom hofft nun sehnsüchtig, dass eines der Kinder ein Junge sein möge. Er beobachtet neugierig das Haus und sieht zu seinem Entsetzen nach einer Weile ein kleines Mädchen in einem der Fenster. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Toms Wunsch trotzdem wahr?

@Patzer (Zitierfunktion will gerade nicht):

Gambit und Andra, da seid ihr auch beide reingefallen. Bei Aufgaben dieser Art setzt man übrigens immer voraus, dass die Geburtswahrscheinlichkeit für M und J gleich ist. Die Lösung ist nicht 50 %.

Da bin ich aber gespannt auf deine Lösung. Hat mit bedingter WS zu tun?
Ich schicke dir eine PN-Anfrage, weil mich dein Gauss-Artikel interessiert.

Wer sagt mir denn, dass dieses Mädchen eins der Kinder der Nachbarn ist, die Wahrscheinlichkeit ändert sich ja, wenn es nur ein Besuch ist.

Bevor das Mädchen zu sehen war, gab es vier Konbinationsmöglichkeiten:

1. Kind 1 Junge - Kind 2 Junge
2. Kind 1 Junge - Kind 2 Mädchen
3. Kind 1 Mädchen - Kind 2 Junge
4. Kind 2 Mädchen - Kind 2 Mädchen,

Die Einzelwahrscheinlichkeit, dass ein Kind entweder ein Junge oder ein Mädchen ist, beträgt 0,5. Somit waren alle 4 Fälle mit 0,25 gleich wahrscheinlich.

Nachdem nun bekannt ist, dass ein Nachbarkind ein Mädchen ist, wird der erste Fall unmöglich. Die anderen 3 Fälle sind jetzt zusammen das "sichere Ereignis" und haben jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit, weil unklar ist, ob das gesichtete Mädchen Kind 1 oder Kind 2 ist. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen als Spiekameraden 2/3.

Die statistischen Unterschiede bei der Geburt (es werden mehr Jungen als Mädchen geboren) ist bei dieser Aufgabe nicht gemeint, nehme ich mal an.
Darum geht es also wohl nicht.
Das Problem erinnert etwas an die bekannte Aufgabe mit der Ziege hinter den 3 Türen. Ich verrate aber hier die Lösung nicht, sondern gebe nur einen Denkanstoß:

Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit ist: Anzahl der günstigen Fälle geteilt durch Anzahl der möglichen Fälle.
Bei zwei Kindern gibt es 4 mögliche Fälle, nämlich JJ JM MJ MM.
Davon sind zwei Fälle günstig, nämlich JJ und JM.
Die Wahrscheinlichkeit für (mindestens) einen Jungen als Spielpartner (BEVOR Tom das Mädchen sieht) ist also 2/4 = 50%.

Das ist aber nicht die Aufgabenstellung. Die wirkliche Frage lautet: Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit, nachdem Tom das Mädchen gesehen hat?

Oh hier war jemand schneller als ich ...

Onkel, so kann man jede Aufgabe kaputt reden, ist nicht vielleicht unsere ganze Wahrnehmung uns nur vorgespiegelt und in Wirklichkeit...

Korrektur: Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Jungen, bevor er das Mädchen sieht, ist 75 %.