Matheaufgabe

Weil die bedingte Wahrscheinlichkeit angesprochen wurde: Sei

A der Fall, dass unter den beiden Kindern mindestens ein Junge ist, und
B der Fall, dass unter den beiden Kindern mindestens ein Mädchen ist.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung, dass B vorliegt.
Das ist die "bedingte Wahrscheinlichkeit" P( A | B) "von A gegeben B".

Die Formel ist: P( A | B ) = P(A und B) / P(B).

Wie in post 97 von @wullenweber20 beschrieben, ist
P(A und B) = 2/4 (Fälle 2 und 3) und
P(B) = 3/4 (Fälle 2-4).

Also ist P( A | B) = (2/4) / (3/4) = 2/3.

Aber die Lösung in Post 97 von @wullenweber20 ist einfach und überzeugend, gefällt mir daher besser.

(7I-I)(7I+I)=7I

durch Hinzufügen eines Punktes kann diese Rechnung zu einer korrekten Gleichung gemacht werden

bei einem Schachbrett fehlt das rechte obere Feld

In wie viele Teile muss man das Brett mindestens zerschneiden um mit den entstehenden Teilen alle anderen 63 Bretter zusammenzusetzen, bei denen jeweils ein anderes Feld fehlt?

auf einem Schachbrett steht auf den Feldern A8, B7, C6 und D5 jeweils eine Dame.

zerschneide das Schachbrett nun in vier deckungsgleiche Teile; in jedem Teil muss sich eine Dame befinden.

Hinweis: meines Wissens gibt es nur eine Lösung!

@Butjenter

Sorry, das war ein Lapsus von mir. Um das noch mal zusammenzufassen:

Vor der Sichtung des Mädchens gibt es 4 mögliche Fälle (JJ, JM, MJ, MM).
Von diesen 4 Fällen sind 3 günstig (JJ, JM, MJ).
Also ist P=3/4=75%.

Nach der Sichtung des Mädchens gibt es nur noch 3 mögliche Fälle (JM, MJ, MM).
Von diesen 3 Fällen sind 2 günstig (JM, MJ).
Also ist P=2/3, also rund 66,7%.

Danke für die Korrektur.

@ManuelDreyers Aufgaben:

1)Die Aufgabe ist nett.
Frage: Will man diese Aufgabe mit anderen Zahlen stellen, gibt es keine Lösung, endlich oder gar unendlich viele? Vermutlich hängt das davon ab, wie viele Parameter die Gleichung dann hat
2)Für 32 der Schachbretter(!) gibt es keine Lösung...
3)Eventuell gibt es unerwartete mögliche Schnitte, vgl. Pizzaschnitte

Die Lösung ist 50%.
Bis hierhin ist alles richtig.
Bis hierhin ist auch noch alles richtig.
Das ist nicht mehr richtig, da der dritte Fall (MM) doppelt so wahrscheinlich ist, wie jeweils die beiden anderen.

Insgesamt gibt es nach der Sichtung vier Möglichkeiten:

1. JM
2. MJ
3. MM - Man sieht das ältere Mädchen.
4. MM - Man sieht das jüngere Mädchen.

Jeder Fall ist gleich wahrscheinlich, zwei davon sind günstig.


67% wäre die richtige Antwort, wenn man zum Nachbarhaus gehen und fragen würde, ob die Familie mindestens eine Tochter hat und ein »Ja« als Antwort bekäme.

Da irrst du leider völlig. Das Sehen eines Mädchens ist identisch mit der Info, dass die Familie mindestens eine Tochter hat.

MM ist der Fall, dass ein Mädchen und dann noch ein Mädchen geboren wurde.
Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/2 x 1/2 = 1/4.
Genauso groß sind die Wahrscheinlichkeiten jeweils für JJ, JM bzw. MJ.
Diese sind also alle gleich groß.
Durch das Sehen eines Mädchens wird nur der Fall JJ ausgeschlossen.
Da die anderen Fälle gleich wahrscheinlich bleiben, ergibt sich 2/3.

Wie groß die Wahrscheinlichkeit war, dass das Mädchen ans Fenster ging -- das verwendest Du --,
wissen wir nicht. Vielleicht geht das / eines der Mädchen 100 mal so häufig an Fenster wie das andere Kind.
Dann müsstest Du Deine Rechnung ändern. Dies zeigt, dass diese Idee zu keinem Ergebnis führt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Junge ist, liegt bei 50 % und nichts anderes. Hier ist die bedingte Wahrscheinlichkeit schlicht und ergreifend nicht anwendbar.

Die Tatsache, dass ein Kind ein Mädchen ist, hat keinerlei Einfluss darauf, ob das andere Kind ein Junge oder ein Mädchen ist. Bedingte Wahrscheinlichkeit kommt hier also nicht zum Einsatz.

Das unbekannte Kind ist ganz einfach entweder ein Junge oder ein Mädchen. Alles andere ist Quatsch. Die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Junge ist, liegt bei 50 %.

Für die Mathematiker: Es handelt sich quasi um Ziehen mit Zurücklegen. Bei Kind 1 sind in der Verlosung Junge oder Mädchen, eines wird gezogen und wieder in die Lostrommel geworfen. Bei Kind 2 sind dann wieder Junge oder Mädchen in der Verlosung. Hier liegt stochastische Unabhängigkeit vor.

Beim Würfeln ist es auch egal, was die 10 Leute vor euch gewürfelt haben, die Wahrscheinlichkeit für eine 6 liegt trotzdem bei 1/6.

Noch mal zur Frage: Wie berechnet man die 3. Lösung von x^2 = 2^x ? (siehe Matheaufgabe)

1. Man sieht sich die Graphen von x^2 und 2^x an und erhält einen ungefähren Wert für den Schnittpunkt zwischen -1 und 0.

2. Aus Magda's Video Matheaufgabe ergibt sich am Ende als exakte Lösung:

x = - exp(-W(ln(sqrt(2)))) unter Verwendung der quadratischen Wurzelfunktion, Logarithmus, Lambert-W-Funktion, e-Funktion. Das sieht nicht nur kompliziert aus, sondern ist es auch!

Zur Berechnung von x bezieht sich Magda auf WolframAlpha. Der gerundete Wert ist x = - 0,76666.

3. Die Werte der W-Funktion werden, so weit ich sah, auch nur näherungsweise bestimmt. Hinzu kommen noch die Rundungsfehler der anderen oben involvierten Funktionen. Wie kann man sich sicher sein, wie genau die Approximation ist?

Wenn man eine numerische Lösung haben will, ist es daher besser, die Lösung von x^2 = 2^x direkt zu berechnen.

Dafür sei f(x) = 2^x - x^2. Wir suchen eine Nullstelle von f, d.h. ein x zwischen -1 und 0 mit f(x) = 0.

Hierfür gibt es das Newton-Verfahren. Die erste (genau genommen, "nullte") Approximation ist x_0 = -1.
Danach berechnet man nacheinander x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f '(x_n).

Es ist f ' (x) = (ln 2)2^x - 2x. Da x negativ ist, ist f ' (x) > 0 sowie f '' (x) = (ln 2)(ln 2)2^x - 2 < 0 in ganz [-1, 0].

Wie im Abschnitt "Konvergenzbetrachtungen" von

de.wikipedia.org/wiki/Newtonverfahren

dargestellt, konvergieren die Näherungswerte x_n von unten (von links) gegen die Nullstelle, und zwar quadratisch, also schnell. Zur Abschätzung des Fehlers siehe den nachfolgenden Wikipedia-Abschnitt.
Nach wenigen Schritten ergibt jede weitere Berechnung eine Verdoppelung der richtigen Dezimalstellen!
(Details per pn, falls gewünscht ...)

Zur Vervollständigung: Die näherungsweise Lösung x = - 0,76666 könnte nahe legen, dass dies ein periodischer Dezimalbruch ist, die Lösung x von x^2 = 2^x also rational ist.

Die nachfolgenden Stellen des Dezimalbruchs zeigen, dass die Periode nicht 6 ist. Aber das ist kein Beweis, dass es nicht evtl. eine andere Periode gibt.

Die Lösung ist tatsächlich irrational. Nachweis mit Schulmathematik:

Angenommen, die 3. Lösung x wäre rational, also x = - p/q mit natürlichen Zahlen p, q. Wir können annehmen, dass dieser Bruch gekürzt ist, also p und q teilerfremd sind.

Aus (- p/q)^2 = 2^(-p/q) ergibt Kehrwertbildung: (q/p)^2 = 2^(p/q).

Potenzieren mit q ergibt (q/p)^(2q) = 2^p.

p,q sind natürliche Zahlen und teilerfremd. Wegen obiger Gleichung kann p keine Primzahl enthalten. Somit ist p = 1.

Damit erhalten wir q^(2q) = 2, mit einer natürlichen Zahl q - das ist unmöglich. Also kann x nicht rational sein.

***********************

Eine Nachfolgefrage könnte sein, ob x evtl. als Wurzel aus einem Bruch dargestellt werden kann.
Das geht auch nicht, siehe Matheaufgabe

Wäre x algebraisch, so wäre 2^x nach dem dort angegebenen Satz von Gelfond und Thomas transzendent,
da x ja nach Obigem irrational ist. Somit auch x^2 = 2^x.
Aber ein Satz aus der Algebra (im Mathematik-Studium) sagt: Mit x ist auch x^2 algebraisch. Widerspruch.
Also ist die Lösung x sogar transzendent.

Genau diese Wahrscheinlichkeit soll erst bestimmt werden.

Das Folgende soll ganz elementar sein -- ohne Mathematik, ohne bedingte Wahrscheinlichkeit, ohne Unabhängigkeit und ohne Zurücklegen von Kugeln. Aber direkt aus dem Leben.

Also: Wir haben 1000 Familien, mit je zwei Kindern.
Für die Geburten gab es 4 Möglichkeiten: JJ, JM, MJ, MM.
Jede ist gleich wahrscheinlich.

In 250 Familien trat also JJ auf, in ebenso vielen JM, analog für MJ und für MM.

Jetzt betrachten wir nur die 750 Familien mit mindestens einem Mädchen.
In wie vielen von diesen gibt es mindestens 1 Jungen? In 250 + 250 = 500 Familien.
Welcher Anteil ist das? 500 / 750 = 2/3.

Wenn wir also wissen, dass es sich um eine Familie mit mindestens einem Mädchen handelt, wird in 2/3 von vielen Fällen das andere Kind ein Junge sein.

Ist das überzeugend? Wo ist da ein Fehler?

********************************

Zu Deinem letzten Absatz:

"Beim Würfeln ist es auch egal, was die 10 Leute vor euch gewürfelt haben, die Wahrscheinlichkeit für eine 6 liegt trotzdem bei 1/6."

Richtig. Beachte dabei: "vor euch" ! Mein Würfeln der 6 liegt also in der Zukunft.
Das nächste Kind der anderen Familie wird auch ein Junge oder Mädchen sein, jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2.
Aber das hat mit der gegebenen Situation nichts zu tun.

Alos, ich gehe jetzt mal davon aus, dass meine Zusammenfassung (entspricht der Lösung von @wullenweber20) zum Jungen-Mädchen-Problem von den meisten als richtig anerkannt wird.

Allerdings, Wahrscheinlichkeitsberechnungen sind oft sinnverwirrend.
Setzt man nur den "gesunden Menschenverstand" ein, hat man meistens verloren.
Die Wahrscheinlichkeit ist intuitiv meist nicht zu ermitteln.

Berühmt ist das "Ziegenproblem":
In einer Quizshow hast Du die Wahl zwischen drei Toren.
Hinter zwei Toren befindet sich eine Ziege, hinter dem dritten Tor ein Auto als Gewinn.
Du wählst zunächst ein Tor aus. Es bleibt jedoch noch geschlossen und der Showmaster öffnet ein anderes Tor, hinter dem sich eine Ziege befindet.

Du darfst jetzt entscheiden:
1. entweder das ursprüngliche Tor behalten
oder
2. auf das zweite noch geschlossene Tor wechseln

Hinter einem der beiden Tore muss sich das Auto befinden!

Welche Entscheidung (1. oder 2.) bietet die größere Chance auf den Gewinn des Autos?

Tipp:
Mögliche Motivationen des Quizmasters den Spieler gewinnen oder verlieren zu lassen, sollten nicht betrachtet werden.
Modifiziert lautet die Aufgabe etwa so:
Du setzt auf ein Tor, aber das Tor geht nicht auf. Du darft dann selbst auf einen Knopf drücken, der ein anderes Tor öffnet. Dahinter befindet sich eine Ziege.
Wieder heißt die Fragestellung 1. oder 2. ?

Ach Andi, du erinnerst mich genau wie Zzzyxass an den ungläubigen Thomas, aber macht euch nichts draus, an dieser Aufgabe sind schon viele kluge Köpfe gescheitert, wie auch an dem ZiegenZonkproblem.
Den Erläuterungen von Manni mit den 1000 Paaren ist absolut nichts mehr hinzuzufügen. Falls ihr es immer noch nicht glaubt, geht doch bitte zu allen deutschen Meldeämtern und fragt nach Paaren mit 2 Kindern...

Beitrag 107 von Alfheri

zu 1. der Reiz der Aufgabe besteht ja darin, daß die Zahl 7I dreimal vorkommt

zu 2. es gibt nur eine mögliche Lösung; du zerschneidest das Brett in x Teile, mit diesen Teilen kannst du dann alle 64 Bretter legen, bei
denen jeweils ein anderes Feld fehlt. Hinweis: das Brett in zwei Teile zerschneiden reicht nicht, es sind mehr als zwei Teile nötig

zu 3. hier habe ich meinen Bekannten angerufen, der mir die Aufgabe vor Jahren gestellt hat. Er sagt: es gibt nur eine mögliche Lösung
plus die gespiegelte Variante dieser Lösung

die Beispiele in deinem Hinweis "Pizzaschnitte" treffen nicht genau zu, weil eine wichtige Bedingung fehlt. Lautet die Aufgabe
"zerteile eine runde Pizza, in deren Mitte sich eine quadratische Scheibe Käse befindet, in vier deckungsgleiche Teile, wobei sich
in jedem Teil ein Stück diese Käses befinden muss" so gibt es nur eine Lösung, nämlich Schnitt von Nord nach Süd und von West nach Ost

durch die Bedingung , in jedem Teil muss sich eine Dame befinden, fallen also Lösungen weg wie z.B. 4 Quadrate mit 16 Feldern, 4 Rechtecke (8 Felder lang, 2 Felder breit) oder 4 Dreiecke

Hi !

Habe meine mathematische Limitierung gerne eingestanden und war ein wenig beruhigt, dass auch manche ihre Grenze eingestanden haben, weil manche Aufgaben wirklich nur mehr für einem geringen Anteil lösbar waren ohne Hilfsmittel.
Beeindrucken - und leicht nachvollziehbar - wenn der Lösungsansatz nicht durch try and error sondern durch tatsächliches Wissen zum Ergebnis führte.

Würde mir wieder wünschen, dass es für den *Durchschnittswissenden* zu Aufgaben kommt - ohne den speziellen Rechengängen kommt, die den bekannten widersprechen - weil es manchmal den Eindruck erweckt, dass eine Hengstparade stattfindet, was *Mathematik* oder *Rechnen* betrifft.

Mag die Bitte ein wenig unterfordernd sein so könnte ich doch wieder ein wenig *mitraten*. - Fand die Aufgaben zu Beginn ansprechender.

Nun gut! Speziell für franzli:

Hier eine einfache Aufgabe, mit der man in geselliger Runde so manch einen in Verlegenheit bringen kann.

Ein Flasche (F) und ein Korken (K) kosten zusammen 11 Cent.
Die Flasche kostet 10 Cent mehr als der Korken.
Wieviel kostet die Flasche und wieviel der Korken?

Tipp: Man muss nicht unbedingt ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten aufstellen, um auf die Lösung zu kommen.

da es keinen halben Cent gibt, hätte ich die Aufgabe mit Euro gestellt