Matheaufgabe

@'EmporKborn

Das Ziegenproblem wurde umfassend sogar zwischen mathematischen Koryphäen diskutiert.

Das Ergebnis lautet: Die Gewinnchance verdoppelt sich gegenüber dem ersten Tor auf das Doppelte beim Wechseln auf das dritte Tor.

Also WECHSELN!

Siehe:
Das Ziegenproblem: Erhöht ein Wechselt die Gewinnchance? - Spektrum der Wissenschaft

@Butjenter

da mir die Formel nicht bekannt war, habe ich es mal mit ausprobieren versucht.

Mein Lösungsansatz sieht so aus:

ich habe wieder Murmeln in einem Säckchen verwendet. 8 gelbe (8 Bastler mit Risiko 1), 24 blaue (12 Fussballer mit Risiko 2) und 24 schwarze (6 Skater mit Risiko 4).

Bevor ich jetzt 2 Murmeln aus dem Säckchen nehme habe ich für jede Murmel die Wahrscheinlichkeit 100:56 = 1,79% was dann für die Gruppe der Gelben 14,29%, für die Gruppe der Blauen 42,86% und für die Gruppe der Schwarzen ebenfalls 42,86% bedeutet.

Und dies ist auch schon die Lösung, denn danach hatte ich gefragt!!!

Wenn ich wissen will , wie sich die Wahrscheinlichkeit verändert, wenn die zwei verletzten Schüler von den Eltern abgeholt wurden und nur noch 26 Schüler anwesend sind nehme ich 2 Murmeln aus dem Säckchen, es sind z.B. 1 Gelbe und 1 Schwarze und nehme deshalb 3 weitere schwarze aus dem Säckchen (vierfaches Risiko, 4 Murmeln stehen für einen Skater).
Ich habe jetzt 7 gelbe, 24 blaue und 20 schwarze Murmeln im Säckchen, das bedeutet für jede Murmel die Wahrscheinlichkeit 100:51 = 1,96% was dann für die Gruppe der Gelben 13,73%, für die Gruppe der Blauen 47,06 und die Gruppe der Schwarzen 39,22% bedeutet

Du gibt die Wahrscheinlichkeit P (mindestens ein Bastler verletzt) mit 1-0,7277= 27,23% an. Wie kann das denn sein, wenn für die acht Bastler die Verletzungsgefahr bei nur 14,9% liegt?

Ist eventuell die Formel falsch, hast du einen Fehler eingebaut oder ist die Formel für diese Aufgabe gar nicht anwendbar. Oder mache ich einen gravierenden Denkfehler bei meinem Lösungsweg?

Ich bin ja hierauf noch eine Antwort schuldig:

Der Ansatz mit der Menge an Durchschnittsfamilien im Link gibt Antwort auf folgendes Problem:

Man nehme n Durchschnittsfamilien mit 2 Kindern (n hinreichend groß). Schicke alle heim, die keine Mädchen enthalten. Dann picke man aus den übrigen eine beliebige Familie heraus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Familie mit einem Jungen zu finden? Dann ergibt sich 2/3.

Unser Problem behandelt eine einzige Familie mit 2 Kindern. Eins davon ist bekannt. Unsere Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Junge ist? Dann ergibt sich natürlich 1/2.

Ich hoffe, der Unterschied ist soweit klar.

@Butjenter und @ManuelDreyer

Der Lösungsansatz von Butjenter ist meiner Meinung nach richtig.

Auf das gestellte Problem, die formulierte Frage und die Infos im Problem kann man ja auch nur berechnen, wie für jede Gruppe die Wahrscheinlichkeit ist, dass einer/beide/keiner der Verletzten zur jeweiligen Gruppe gehört.

Nach einem konkreten Ereignis ist zum einen gar nicht gefragt. Und zum anderen fehlen für andere Auslegungen der Frage weitere Informationen, die zum rechnen benötigt werden.

Butjenter schrieb:

Dabei ist die Lösung so einfach:
Wenn man nicht wechselt, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit 1/3, klar, man muss halt bei seiner Wahl das richtige Tor getroffen haben.
Wenn man aber wechselt, verliert man nur, wenn man bei seiner Wahl das richtige Tor getroffen hat, also wieder mit 1/3, also gewinnt man mit 2/3.

Mann! Die Lösung ist genial! Aber man muss auf die Idee kommen! Und darüber haben sich Generationen von Mathematikern gestritten!???

Zum Ersteren: prima.

Zum zweiten Absatz: Die Frage "wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ..." ist unsinnig. Wir haben hier, wie Du schreibst, 1 feste Familie und beide Kinder sind bereits geboren. Damit steht fest, ob das andere Kind ein Junge ist oder nicht.

Wahrscheinlichkeiten machen erst Sinn, wenn man es auf größere Zahlen von Möglichkeiten bezieht, und die Familie in diesem Kontext betrachtet. Das ist Dein erster Absatz.

@Butjenter

Meine Aufgabe lautete "gebe die Wahrscheinlichkeit einer Verletzung für jede Gruppe an, wobei angenommen wird usw. usw". Die Frage ist klar formuliert, wie auch die Bedingungen, die gelten sollen.

Alles was man zur Lösung braucht ist vorhanden: die Anzahl der Bastler, die Anzahl der Fussballer ,die Anzahl der Skater und die Werte für das Verletzungsrisiko ihrer Tätigkeiten, 1,2 und 4.

In deinem zweiten Satz "Du schreibst in deinem 2.Post dazu, dass du damit meinst usw. usw" tätigst du einige unrichtige Behauptungen!

1. ich habe nirgends geschrieben, dass ich damit meine, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass das 1. verletzte Kind ein Bastler ist.
2. du schreibst, ich habe die Wahrscheinlichkeit , dass das 1. verletzte Kind ein Bastler ist, mit 14,29% richtig berechnet. Nein, habe ich nicht, die 14,29% sind die Wahrscheinlichkeit für die gesamte Gruppe der Bastler.
3. du schreibst weiter "bei dieser Rechnung ist aber die Information, dass zwei sich verletzt haben, völlig überflüssig". Genau so sehe ich das auch, die Angabe dass zwei Schüler sich verletzt haben spielt für die Beantwortung meiner Frage keine Rolle, und ist daher
nicht relevant/nicht nötig/überflüssig.

Deshalb wundert es mich , dass manni5 und du so vehement behaupten, bei der Aufgabe mit den Nachbarskindern gibt es 4 oder gar noch mehr mögliche Paare. Nein, das Mädchen am Fenster oder die Aussage ,die Familie hat mindestens eine Tochter, lässt doch nur 2 Paare zu,
nämlich MM und MJ. Die Reihenfolge der Geburt spielt doch keine Rolle. Aber selbst die Information Mädchen am Fenster oder Familie hat mindestens eine Tochter, ist doch für die Beantwortung der Frage (wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eines männlichen Spielkamaraden)
nicht notwendig.
Die Grundannahme, bei der Geburt eines Kindes beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen 50%, reicht völlig aus. und die Wahrscheinlichkeit ist bei jeder Geburt gleich, bei der 1. der 2. der 3. und auch bei der 10.

Manni5 schreibt in seinen Beitrag 114: Betrachten wir doch mal 1000 Familien mit je zwei Kindern, bei Geburten haben wir die 4 Möglichkeiten... und jede ist gleich wahrscheinlich.Einspruch:1. es gibt nur 3 Möglichkeiten, die Kinder sind da, die Reihenfolge bei der Geburt spielt keine Rolle, die Familien können entweder 2 Söhne , 2 Töchter oder ein Pärchen Tochter/Sohn haben. 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt weder 25% ( wie von Manni5 behaupte) noch 33,3% (drei mögliche Paare), weil Manni5 die Wahrscheinlichkeit gar nicht berechnet hat. Was er gemacht hat und als Wahrscheinlichkeitsrechnung verkaufen will ist eine statistische Erhebung, aber auch keine praktische sondern nur willkürliche. In der rauen Wirklichkeit kann es nämlich vorkommen, das von 1000 befragten Eltern 678 zwei Mädchen haben, 300 zwei Buben und 22 einen Bub und ein Mädchen. machst du diese statistische Erhebung in China, werden von 1000 Eltern mit 2 Kindern über 800 zwei Jungen haben. Dann erst kommen Eltern mit Junge und Mädchen und Eltern mit 2 Mädchen sind ganz selten. Das liegt an der1 Kind-Politik , die erst vor wenigen Jahren abgeschafft wurde.
Da Manni5 in seiner ersten Rechnung mit 4 statt mit 3 Möglichkeiten gerechnet hat und das falsche Ergebnis fälschlicherweise als Wahrscheinlichkeit ausgegeben hat, sind seine darauf fussenden weiteren Berechnungen und die daraus abgeleiteten Behauptungen zur Wahrscheinlichkeit auch nicht viel wert.

Das möglichen Fehlerquellen bei Aufgaben dieser Art sind mannigfaltig; Fragestellung wird falsch interpretiert, verwendete Formeln passen nicht zum Problem, Daten werden fehlerhaft in Formeln eingesetzt, wichtige Informationen werden nicht berücksichtig, Informationen werden berücksichtig, die irrelevant sind usw. usw..

Ich behaupte ja, die Information Mädchen am Fenster bzw. Familie hat mindestens eine Tochter ist unnötig.Das heisst, die benutze die Anzahl der möglichen Paare nicht für den Lösungsweg, sondern behaupte: die Wahrscheinlichkeit bei Geburt 1 ist 50% und bei Geburt 2 auch 50% sodaß sich die Wahrscheinlichkeit 50% ergibt für einen männlichen Spielkameraden. .Sollte die Information doch für die Lösung nötig sein, behaupte ich, die Information verringert die möglichen Kombinationen von 3 (jj,mm, mj) auf 2 (mm und mj). Wenn ich dies mit der Formel ausrechne erhalte ich P=1-0,5=0,5= 50% . Ich behaupte, die Reihenfolge bei den Geburten sowie die Reihenfolge des Auftauchens am Fenster darf nicht berücksichtigt werden. Dadurch werden mögliche Paare mitgerechnet, die es gar nicht gibt. Butjenter und Manni5 tun aber genau
dies, sie rechnen einfach mit zuviel möglichen Paaren.

Aber dafür ist dieses Forum ja da, zum unterhalten, austauschen, diskutieren

@ManuelDreyer

Danke für Deine Rückmeldung und Dein Lesen.
Ich kann hier nur auf ein paar Details eingehen, die ziemlich grundlegend sind.

1. Richtig, man geht stillschweigend bei diesen Aufgaben davon aus, dass wir "deutsche Verhältnisse" haben und nicht Nebenbedingungen wie in China oder sonstwo. Sonst müsste man das dazu sagen.

Ebenso geht man zur Vereinfachung davon aus, dass die Geburtswahrscheinlichkeit eines Jungen 50 % beträgt
und nicht etwa z.B. 49,3 % oder so, was man in der Realität festgestellt hat (habe die Zahl nicht nachgesehen).

2. Natürlich kannst Du auch mit "es gibt 3 Fälle für die Kinder: 2 Jungen, 2 Mädchen, oder gemischtes Paar" rechnen. Unsere 4 Fälle (siehe auch Link von @wullenweber20, post 97 Matheaufgabe) dienen dazu, festzustellen, dass bei großen Zahlen von Familien ungefähr doppelt so viele ein gemischtes Kinderpaar haben, wie zwei Jungen bzw. wie zwei Mädchen. Ich hoffe, das ist einsichtig ?

3. Die Wahrscheinlichkeiten geben die Werte (mathematisch: Grenzwerte, Erwartungswerte) für viele Verteilungen an, die man erhält, wenn diese immer größer werden. In der Realität wäre es sogar überraschend, wenn bei 1000 Familien tatsächlich genau 250 Familien zwei Jungen als Kinder haben. Das dürfte verteilt sein gemäß der Gaußschen Glockenkurve:
d.h., wenn wir viele Gruppen von je 1000 Familien nehmen, treten Werte nahe bei 250 am häufigsten auf, und der Durchschnitt nähert sich immer mehr der Zahl 250 an, je mehr Gruppen wir nehmen.

@Halbkopf
Doch! Es gibt eine Lösung.

Da habe ich es nochmal probiert und tatsächlich, es gibt die


Hier die 59 Zahlenreihen, die ich versucht habe:

@Halbkopf
Es ist schon eine Fleißarbeit. Es freut mich, dass du sie auf dich genommen hast.

Der Weg nach Rom

Ein Wanderer pilgert nach Rom und komm an eine Weggabelung (R=rechter Weg; L=linker Weg).
Der Wanderer weiß nicht, welcher Weg nach Rom führt.
An der Weggabelung steht ein Haus, in dem zwei Brüder wohnen.
Von den Brüdern ist bekannt, dass einer immer lügt, während der andere immer die Wahrheit sagt.
Niemand weiß, welcher der beiden Brüder der Lügner ist.

Der Wanderer klopft an die Tür und einer der beiden Brüder öffnet.
"Ich möchte mich nach dem richtigen Weg nach Rom erkundigen!" - sagt der Wanderer.
Da sagt der Bruder: "Gerne, aber Du darfst nur an einen von uns eine einzige Frage stellen!"

Wie muss der Wanderer die Frage nach dem Weg formulieren, damit er sicher den richtigen Weg erkennt?

Wie so oft, ist die Lösung ganz einfach. Man muss nur die richtige Idee haben!

Frage @ Manni5, Butjenter, Gambitspieler und alle anderen die dasPJunge-oder-Mädchen-Problem aka Zwei-Kinder-Problem aka Geschwisterproblem mit der Formel P(A/B)=P(A+B/P/(B) lösen wollen:

kann es sein das es sich hier um ein umgekehrtes Paradoxon handelt?

das bedeutet: die korrekte mathematische Lösung mit der Formel führt zu einem falschen Ergebnis
das bedeutet weiterhin: andere Methoden wie z.B. Schätzung oder Statistik führen zum richtigen Ergebnis
das bedeutet weiterhin: nicht die ungenauen Methoden führen zu überraschenden, unvermuteten Ergebnissen oder widersinnigen, sonderbaren Behauptungen sondern die exakte mathematische Berechnung



Manni5 behauptet , bei Familien mit 2 Kindern gibt es die Möglichkeiten JJ MM JM MJ und behauptet weiter, die Wahrscheinlichkeit für diese 4 Möglichkeiten liegt bei allen bei 25%, was bedeutet 250 Familien
haben 2 Jungen, 250 Familien haben 2 Mädchen, 250 Familien haben 1 älteren Jungen und 1 jüngeres Mädchen und 250 Familien haben 1 älteres Mädchen und 1 jüngeren Jungen.

Ich behaupte, das bei 1000 Familien die Verteilung so aussieht: 333 haben 2 Jungen, 334 haben 2 Mädchen und 333 Familien haben ein Geschwisterpaar mit unterschiedlichem Geschlecht. Bei mir beträgt die
Wahrscheinlichkeit für die 3 Möglichkeiten bei allen 33%.

Ich versuche mal verschiedene Beweisführungen!

1. die Wahrscheinlichkeit bei der Geburt beträgt 50% für Junge wie für Mädchen. Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus nur 2 Möglichkeiten ist aber auch statistisch belegt (Bevölkerungsanteil Deutschland 51 Frauen, 49% Männer).
Da wir diese statistische Bestätigung auf einer grossen Zahl beruht, nehme ich an, das die Wahrscheinlichkeit auch für Familien mit 2 Kindern gilt. Also gilt JJ zu MM 50%, JJ zu Geschwisterpaar mit unterschiedlichem Geschlecht 50%
MM zu Geschwisterpaar mit unterschiedlichem Geschlecht 50%, die summe beträgt 150% rechne auf 100% runter und erhalte die Wahrscheinlichkeit für alle 3 Möglichkeiten 33%

2. ich frage mich, wie entstehen Familien mit 2 Kindern? Antwort: durch Geburt eines Kindes bei Familien mit 1 Kind. Weiter nehme ich an, im Moment gibt es keine Familien mit 2 Kindern und schaue mir an was passiert, wenn die nächsten 6
Geburten in Familien mit 1 Kind stattfinden. Die Reihenfolge der Geschlechter der Säuglinge ermittle ich durch Kugelziehen aus einer Urne: Die Reihenfolge lautet jj mm jm. Die Reihenfolge für die 6 Familien ermittle ich ebenso: die Reihenfolge der Familien
lautet j m j m j m. Dann ermittle ich die wo die erste Geburt stattfindet durch einen Würfel, es fällt die 1 also fange ich bei Familie 1 an

Familien 1 Kind: j m j m j m
2.Kind: j j m m j m

Als Ergebnis erhalte ich Familie 1 und Familie 5 mit 2Jungen, Familie 4 und 6 mit 2 Mädchen und Familie 2 und 3 mit gemischtem Geschwisterpaar. rein zufällig ergibt dies die Wahrscheinlichkeit 33% für die 3 Möglichkeiten!

Deshalb auf ein neues: die ersten Griffe in die Urne ergeben die Reihenfolge m m m j j j. Der weiteren Griffe in die Urne ergeben die gleiche Reihenfolge wie beim ersten mal also j m j m j m. Der Würfel zeigt diesmal eine 2 also beginne ich die Verteilung bei der
zweiten Familie

Familie 1 Kind: j m j. m. j. m
2. Kind: j m. m. m j. j

Als Ergebnis erhalte ich Familie 1 und Familie 5 mit 2 Jungen, Familie 2 und 4 mit 2 Mädchen und Familie 3 und 6 mit gemischtem Geschwisterpaar. rein zufällig ergibt dies die Wahrscheinlichkeit 33% für die 3 Möglichkeit!

Deshalb auf ein neues: der Griff in die Urne ergibt jjj mmm und nochmal jjj mmm, der Würfel zeigt die 4. damit ergibt sich , daß alle 6 Familien ein gemischtes Geschwisterpaar haben. Die Wahrscheinlichkeit beträgt jetzt für die 3 Möglichkeiten 0% 0% 100%

Deshalb auf ein neues:der Griff in die Urne ergibt jjjjjj und nochmal jjjjjj , der Würfel zeigt die 1, (würfeln hätte ich mir sparen können, alle bereits geborenen Kinder sind Jungen ebenso wie die zweiten Kinder, deshalb ist es Wurst , bei welcher Familie ich beginne.
Als Ergebnis erhalte ich 6 Familien mit 2 Jungen. Wahrscheinlichkeit beträgt jetzt 100% 0% 0%

Dieses auf Zufall basierende Ausprobieren zeigt also starke Schwankungen, was an der geringen Anzahl liegt. Je öfter ich dieses zufällige Ausprobieren wiederhole desto mehr nähere ich mich aber dem bei uns herrschenden Verhältnis der Geschlechter 50% an.

Deshalb ist auch hier der Beweis für die Wahrscheinlichkeit 33% 34% 33% gelungen.

3. Der Direktor des hiesigen Gymnasiums führte letztes Jahr eine freiwillige Umfrage bei den Schülern des Jahrgangs 2009 durch. In seinem Aufruf suchte er Schüler aus Familien mit 2 Kindern, die bereit waren einen Fragebogen mit 3 Fragen auszufüllen. Die Frage1 lautete: welches Geschlecht hast Du?Frage 2: hast du eine Schwester? Frage 3: hast du einen Bruder?

Es meldeten sich 86 Schüler. Die Fragen wurden wie folgt beantwortet:Frage 1. 44 weiblich 42 männlich Frage 2 die 44 Mädchen antworteten 15 mal ja, die 42 Jungen 25 mal ja Frage 3 die 44 Mädchen antworteten 29 mal ja, die 42 Jungen 17 mal ja.

Die Auswertung der Fragebögen ergab folgendes: es gibt 59 Familien mit 2 Jungen, 59 Familien mit 2 Mädchen und 54 Familien mitGeschwistern unterschiedlichem Geschlecht. Was dann die Wahrscheinlichkeiten JJ 34,3%, MM 34,3% und 31,4% ergibt.

Auch hier gilt , eine einzelne statistische Erhebung kann sehr abweichen (deshalb habe ich in einem vorherigen Beitrag das Beispiel China erwähnt). Für Deutschland möchte ich ein Beispiel beisteuern: in einem Münchner Vorort wurden 100 Familien mit zwei Kindern befragt:

Ergebnis: JJ 10%, MM 70% Geschwister unterschiedlichen Geschlechts 20% . In einem anderen Vorort von München ergab die Befragung: JJ 70% MM 10% Geschwister unterschiedlichen Geschlechts. Erstaunlich, aber es gibt eine plausible Erklärung: im ersten Stadtteil befindet sich
eine Eliteschule für Mädchen, im zweiten Stadtteil eine für Jungen.

Auch für die Befragung der Schüler und die Auswertung der Fragebögen gilt, im Einzelfall starke Abweichung möglich, je mehr Daten ich habe desto größer die Annäherung an 33% 34% 33%.

Auch hier halte ich den Beweis für meine Behauptung gelungen.

Bei dem Problem mit dem männlichen Spielkameraden rechnet ihr die Wahrscheinlichkeit mit der Formel rechnerisch richtig aus, euer Ergebnis für die Wahrscheinlichkeit 2/3 eines Bruders bei Bekanntsein von mindestens einem Mädchen ist extrem unerwartet, ja widersinnig.

Dieses Problem wurde schon mehrfach durch Befragung und Untersuchung versucht zu klären. Ergebnis: die Wahrscheinlichkeit für das Geschlecht eines Kindes hängt keinesfalls davon ab, ob die Familie schon 1,2,3 oder gar mehr Kinder hat, es zählt nur ein einziger Faktor
nämlich die Genetik. Das bedeutet eure rechnerisch richtige Lösung ist rein theoretischer Natur, hat in der Wirklichkeit keinerlei Bestand, weil auch für das x Kind die Wahrscheinlichkeit 50% beträgt.

Butjenter behauptet meine Frage zu dem Problem ist nicht mathematisch exakt und auch sprachlich unklar formuliert. Die Frage ist sowas von Exakt und klar, mit den von mir ermittelten Werten 14,29% für die Gruppe der Bastler, 42,86% für Gruppe der Fussballer und 42,86% für die Skater kann ich dir alle Antworten auf alle möglichen Fragen ableiten. Wenn du konkret fragst, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich ein Bastler als erster verletzt, kann ich dir sofort 14,29% nennen. Für Fussballer und Skater sind das je 42,86%. ich habe ganz bewusst gesagt: gebe die Wahrscheinlichkeit einer Verletzung für jede Gruppe an, eben weil mich interessiert wie hoch Wahrscheinlichkeit ist, dass sich ein Skater als erster verletzt. Das Risiko sich überhaupt zu verletzen liegt für den einzelnen Skater bei 7,14% (42,86% : 6)

Er behauptet die Wahrscheinlichkeit bei zwei gleichzeitig gezogenen Kugeln eine gelbe (Bastler verletzt) dabei ist liegt bei 27,03%. Gut gerechnet mit der Formel, rein rechnerisch richtig aber trotzdem grottenfalsch. Was gilt den hier: die Wahrscheinlichkeit eine gelbe Kugel beim ersten Versuch aus dem Säcken zu nehmen beträgt 1,79% (1 von 56), die Wahrscheinlichkeit eine gelbe Kugel beim zweiten versuch aus dem Säckchen zu nehmen beträgt 1,82% (1 von 55). Du stellst die Aufgabe aber so"wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, das bei zwei gleichzeitig herausgeholten Kugeln mindestens eine Gelbe dabei ist"? Das kann auf zwei Arten geschehen, ich greife mit einer Hand ins Säcken und nehme zwei Kugeln. Oder ich gehe mit beiden Händen rein und nehme mit jeder Hand 1 Kugel. Damit verändert sich die Wahrscheinlichkeit aber nicht
für die Kugel in Hand 1 gilt Wahrscheinlichkeit 1,79% für die Kugel in Hand 2 gilt Wahrscheinlichkeit 1,79%.

Grundsätzlich ziehe ich vor jedem Mathematiker, Informatiker den Hut. Chapeau, würde ich auch alles gern können. Aber manchmal fehlt mir die Überprüfung , ob theoretisch Mögliches wirklichkeitsnah ist.

Ich meine, hier liegt also ein UMGEKEHRTES PARADOXON vor.