Matheaufgabe

Hier sind zwei Beispiele.

1. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind, wenn wir wissen, dass die Familie mindestens 1 Jungen hat.

Fall A: beide Kinder sind Jungen
Fall B: mindestens ein Kind ist ein Junge.

Gesucht ist P(A | B).

Es ist P(A | B) = P(A und B) / P(B)

dies gilt immer, auch für voneinander unabhängige oder abhängige Ereignisse.

Hier liegt eine starke Abhängigkeit vor: A und B ist gleichwertig mit A,
denn aus der Bedingung, dass zwei Jungen da sind, folgt, dass mindestens ein Junge da ist.
Also: (A und B) = A

Ausrechnen:

P(A) = 1/2 x 1/2 = 1/4
P(B) = 3/4, denn es gibt 4 gleich wahrscheinliche Fälle der Geburten: JJ, JM, MJ, MM; in 3 Fällen davon gibt's mindestens einen Jungen

Einsetzen:

P(A | B) = P(A und B) / P(B) = P(A) / P(B) = (1/4) / (3/4) = 1/3.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 1/3.

*******************************************

2. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Familie mindestens einen Jungen hat, wenn wir wissen, dass die Familie mindestens ein Mädchen hat.

Fall B: mindestens ein Kind ist ein Junge (wie oben)
Fall C: mindestens ein Kind ist ein Mädchen.

Gesucht ist P(B | C).

Es ist P(B | C) = P(B und C) / P(C)

Ausrechnen:

P(B und C) = 2/4 = 1/2; siehe die 4 Fälle JJ, JM, MJ, MM: in genau 2 Fällen haben wir Junge und Mädchen
P(C) = 3/4, siehe oben P(B) für den Fall des Jungen

Einsetzen:

P(B | C) = P(B und C) / P(C) = (1/2) / (3/4) = 2/3.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 2/3.

Dies ergibt sich auch aus Fall 1:

Nach Fall 1 ist P(A | B) = 1/3.
Das Komplementereignis von A ist der Fall, dass wir nicht zwei Jungen haben, d.h. mindestens ein Mädchen,
d.h. Fall C.
Somit ist P(A) + P(C) = 1 und auch P(A | B) + P(C | B) = 1 (einfaches Gesetz der W-Theorie).

[ Einschub: Beweis: (A und B) sowie (C und B) sind komplementär und ergeben zusammen B. Daher
P(A und B) + P(C und B) = P(B). Nun teile beide Seiten durch P(B) und verwende die Def. von P(A | B), P(C | B). ]

Also ist P(C | B) = 1 - P(A | B) = 1 - 1/3 = 2/3.

Junge und Mädchen sind hier völlig symmetrisch. Also ist

P(B | C) = P(C | B) = 2/3, wie zuvor angegeben.

Beweis Ende.

Du fragtest, wo ist Dein Fehler.

Im 1. Absatz stimmt Ihr ja überein: super, prima!

Zum 2. Absatz: Deine Frage trifft nicht das Problem.

Angenommen, Du fragst: die Familie hat einen Jungen. Wie groß ist die W'keit, dass das nächste Kind ein Junge bzw. ein Mädchen ist?
Natürlich jeweils 1/2. Da gibt's volle Zustimmung.

Aber in der obigen Situation geht man nicht von *einer* Familie, sondern von *vielen* Familien mit 2 bereits zufällig geborenen Kindern aus, aus denen eine mit einem Jungen ausgewählt wurde. Diese Auswahl muss man berücksichtigen: In vielen Fällen derartiger Auswahlen dieser Art der Familie und anschließendem Nachsehen, ob bei diesen ein zweiter Junge da ist, erhält man, dass dies in 1/3 dieser Familien der Fall ist.

Der Unterschied ist also: Was ist das Problem -- wo beginnt die Auswahl der Familie?

@Gambitspieler

Das ist der Clou bei den bedingten Wahrscheinlichkeiten A | B.
Diese sind kompliziert, wie wir gesehen haben.
Daher betrachtet man die "normalen" Wahrscheinlichkeiten und führt die bedingten hierauf zurück über die Formel P(A | B) = P(A und B) / P(B).
Bei den "normalen" Wahrscheinlichkeiten betrachtet man dann alle Fälle, *ohne die Bedingung*.
Das ist der Clou -- damit ist der Troublemaker beseitigt.
Die Bedingung geht dann nur im Schnitt A und B ein.

Zu Deinem letzten Beispiel:

Gesucht ist P(ZZ | K) mit K = mindestens einmal Kopf, usw.

Es ist P(ZZ | K ) = P(ZZ und K) / P(K).

Es ist P(K) = 3/4, da die normal möglichen Ereignisse ZZ, KZ, ZK, KK sind, Kopf tritt in 3 von diesen auf
aber (ZZ und K) ist unmöglich (ist die leere Menge), also P(ZZ und K) = 0.

Damit P(ZZ | K) = 0, wie Du sagtest.

PS Zu Deinem angegeben Wikipedia-Artikel: Siehe den Absatz zur 2. Fragestellung. Ergibt über die Tabelle genau dasselbe Resultat

@Butjenter und Manni5

jetzt haben wir den Salat, meine Frau droht mit Scheidung und sie gesteht mir noch einen Versuch zu.

Budjenter, fällt dir nicht auf , daß die Zahlen alle Irgendwie nahe beieinander sind?

Ich habe bei den Bau- und Bürgerdiensten angerufen. Die nette Dame konnte sich gut an dich erinnern. Sie bestätigte diese Zahlen und gab mir dann auch weitere Zahlen: 84 erstgeborene Jungen, 90 zweitgeborene Jungen, 83 erstgeborene Mädchen 77 zweitgeborene Mädchen.

Das hatte ich erwartet. das ist so, wenn man mit 25% aufteilt .Da kann man hin und her, kreuz und quer, hoch und runter rechnen, das immer falsche Ergebnis liegt in der Nähe der 25%

Ein Beweis ist es jedoch nicht, eben weil diese Zahlen aus diesen vier Töpfen kommen. Und deshalb ergeben sie das von dir gewünschte Ergebnis.Aber genau das ist doch strittig. Du behauptest es einfach, es ist gegeben, von wem ?


Es ist doch unstrittig das bei jedem 1 aus 2 die Wahrscheinlichkeit 1/2= 0,5 = 50% beträgt und zwar für jedes Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit wird durch Multiplikation berechnet. Wenn ich ganz konkret frage , wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit einer Münze 5 mal hintereinander Kopf zu werfen ergibt sich 1/2 mal 1/2 mal 1/2 mal 1/2 nah 1/2= 0,03125 =3,125%. Wichtig ist aber zu beachten, dass die Wahrscheinlichkeit mit den 6. Wurf zwar theoretisch 1,56% beträgt, die Wahrscheinlichkeit für den 6. Wurf für sich allein aber bei 1/2 = 0,5 = 50%.

was passiert wenn bei 1aus 2, das erste Ereignis stattgefunden hat (Wahrscheinlichkeit K 50% Z 50%=100%). Es geben sich die Möglichkeiten KK ZZ und eine dritte Möglichkeit. Das ist das Baummodell. Diese Möglichkeiten können sein KK ZZ und KZ oder KK ZZ und ZK. der zweite Münzwurf (oder die zweite Geburt , oder die zweite Spielkarte) beenden das Einzelereignes Wahrscheinlichkeit aus zwei Würfen (analog Geburten , Spielfiguren). jetzt sehe ich auf das Baummodell und stelle fest, ich habe vier mögliche Paare KK ZZ KZ oder ZK, diese 4 Paare sind aber nur theoretisch möglich , aber nicht praktisch, stimmt nicht, schwer das auszudrücken, richtig muss es heissen, der zweite Wurf ergibt in Verbindung mit dem ersten Wurf 3 mögliche Kombinationen 1/3 zu 1/3 zu 1/3 =Wahrscheinlichkeit 33,3% zu 33,3% zu 33,3%. Und dieses Verhältnis darf ich nicht verändern. Es wird in der Praxis gemacht, damit die Behörden wie die nette Frau aus dem Bau- und Bürgerdienst auf Knopfdruck sagen kann, wieviele Jungen erstgeborene und zweitgeboren sind , und auch wieviele erstgeborene Mädchen und zweitgebore Mädchen.
Auch wenn es diese Paare KZ und ZK gibt, darf ich nicht zwei verschiedene Gruppen draus machen. So wie ihr rechnet (KK 25 ZZ 25KZ 25% ZK 25%) bekommt ihr immer falsche Verhältnisse , weil KZ+ZK 50%+KK 25%+ ZZ25% = Richtig ist KZ 16,6% + ZK 16,6% + KK 33,3% + 33,3% =100

Habt ihr euch mal gefragt, warum es zwei-Kind-Problem , Ziegenproblem , Münzproblem, Gefangenenproblem, 3-TürenProblem heisst. oder" Problem" oft durch Paradoxon ersetzt wird. Auf diesen Hinweis von mir ist keiner reagiert.

Hier hatte ich aufgehört, weil ich einen wichtigen Termin hatte, inzwischen hat Gambitspieler seinen Post 344 geschrieben

das ist doch nicht dein Ernst!!!!!!!! das erste Kind ist ein Junge. Da sag ich gleich 100% , weil hier geht es nicht mehr um Wahrscheinlichkeit. 2 Jungen stehen fest. Steht doch in der Aussage.Die Wahrscheinlichkeit Junge 1/2 = 0,5 =50% plus 50%=100%(nicht mal)Schau mal auf dein Baummodel, bitte! erstes Ereignis Junge 50% Zweites Ereignis Mädchen 50%
Zweites Ereignis Junge 50% ist eingetreten: 100%

Es kann JJ MM JM MJ auftauchen. Absolut 100% sicher nein. durch den ersten Jungen muss es JJ oder JM sein, eben weil die Möglichkeiten MM und MJ wegfallen

zu Frage 2. 50% ist richtig (Zufälle gibt es) Es ist nur JJ JM MJ JJ denkbar. Absolut sicher nein, das ist ja hanebüchen. Es ist nur JJ und JM möglich.

weiter: Bei der Aufgabe mit dem Klassentreffen: die Frage wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das sich Bastler, Fussball , Skater als 2. verletzen, bedeutet doch : wie hoch ist für die Wahrscheinlichkeit sich als erster seiner Gruppe als zweiter zu verletzen . Da ich keine Information habe ob der 1. verletzte ein Bastler , ein Fussballer oder ein Skater ist , lautet die Lösung doch 8/55 24/55 24/55 = 55 warum: Butjenter rechnet gleich beim zweiten verletzten mit der Annahme , dass ein Bastler als erster verletzt wurde. Das kann ich aus der Aussage doch gar nicht
wissen, könnte ja auch ein Fussballer oder Skater gewesen sein. Wer der erste Verletzte war kann ich nicht wissen. Aber die Wahrscheinlichkeit dafür steht fest, haben wir ja schon ausgerechnet: 8/56 für Bastler 24/56 für Fussballer 24/56 für Skater.

auf meine Frage: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit sich als 7. Schüler zu verletzten: überlege ich , was bedeutet dies: da ich wieder nicht weiss, wer sich vorher verletzt hat rechne ich : 8/50 24/50 24/50 = 4% für die Bastler 48% für die Fussballer und 48% für die Skater wenn nicht weiss welche Schüler sich als die ersten sechs verletzt haben : rechne ich mit allen möglichen Murmeln (gleich Zahl am Anfang, beziehungsweise Wertigkeiten, dieser Ausdruck ist genauer)
Wenn die Frage lautet, es haben sich bereit 3 Skater , 2 Fussballer und 1 Bastler verletzt, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit? dann rechne ich 7/39 20/39 12/39 = 17,95% für die Bastler für die 51,28% für die Fussballer und 41,03 für die Skater.
Die Frage wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für den 23. verletzten Schüler kann ich im Kopf: 4/4=100% Bastler. Begründung: es können weder Fussballer noch Skater unverletzt sein.
und für den 22. rechne ich auch noch nicht, sondern überlege: 22. Verletzte aus 5 Schülern, können nur 5 Bastler sein = 100% Begründung , ich suche die Wahrscheinlichkeit für den 22. Verletzten, also haben sich vorher schon 21 verletzt: ich rechne 5 Gesamtzahl: 5/5 = 100% für Bastler. Begründung: andere Kombinationen sind nicht mehr Möglich. z.B. 4 Bastler und 1 Fussballer = Wertigkeit 4 Murmeln und 2 Murmeln = 6 Murmeln, dass bedeutet aber 4/5 = 0,8 = 80% für Bastler und 2/5 = 0,4= 40% = 6/5= 1,2=120% nicht möglich

Die Wahrscheinlichkeit hängt also vom Verhältnis der einzelne Gruppen zur Gesamtzahl ab. Ich hab von Mathe wenig Ahnung . ich versuche mal besser zu formulieren: die Wahrscheinlichkeit hängt also vom Verhältnis der einzelnen Möglichkeiten zueinander und zur Gesamtzahl ab .

Wie war das noch? Mathematik ist die Lehre von den Zahlen und ihren Verhältnissen zueinander.

Ich kann zum Beispiel innerhalb von sagen wir 2 Minuten folgende Aufgabe lösen (Wahrscheinlich schneller, will net angeben) addiere bitte die Zahlen von 1 bis 79836 die zahl ist so gross, da streikt der Taschenrechner! ok, ein bisschen kleiner 1 bis 888 ich verrate mal soviel: das Ergebnis entspricht ca. 2/3 der Einwohnerzahl von Leipzig.

Das wichtigste nochmal : bei diesen 1:2 Problemen, entstehen zwar vier Gruppen, aber nach Eintreten von Ereignis 1 und Ereignis zwei gibt es immer nur 3 Möglichkeiten , weshalb das Verhältnis 1:3 1:3 1:3 =3/3=100 Prozent beträgt. Ich kann zwar in vier Gruppen einteilen, wie es die Standesämter oder Bürgerdienste tun, das ist aber nicht richtig weil aus einer 1/3 Verteilung eine 1/4 Verteilung ergibt.

So, meine Holde steht mit dem Nudelholz hinter mir und hat mir das versprechen abgenötigt mindestens 14 Tage hier nix mehr zu schreiben. Die habe ich soeben feierlich geschworen. Bleibt gesund, passt auf euch auf. bis dann mal wieder.

"Ihr habe folgendes gegegeben."
Ich habe ihr folgendes gegeben?
Ihr habt folgendes gegeben?
Ihr habt folgendes zu geben?
Ihr habe folgendes Gege (chinesisch für grosser Bruder) geben?
EX FALSO QUODLIBET.

Ex falso quodlibet, eigentlich ex falso sequitur quodlibet (lat. „aus Falschem folgt Beliebiges“), abgekürzt zu „e.f.q.“

XX+XXX=L
CCC+CCC=DC
Ging es um römische Zahldarstellungen?

Bin gerade von einer Feier nach Hause gekommen und die posts überflogen, die sich bereits im Kreis drehen, aber mir ist dieser Passus doch aufgefallen.

Diese *Aufgabe* läßt sich mit der Gaußschen Summenformel sehr rasch lösen. 2 Minuten erachte ich dabei als eher nicht sehr rasch und hat mit Mathematik nicht sehr viel zu tun.

Idee zu 888:

888+1, 887+2,886+3 .... Ergebnis jeweils 889. Es reicht also 889 mit 444 zu multiplizieren um als Ergebnis 394.716 zu erhalten.
Analog 79836: 79837 . 39918 = 3186933366

In beiden Fällen hoffe ich, dass ich mich unter dem Einfluss von Pflaumenwein nicht vertippt habe .
Weder für mich noch für Dich wäre dies aber ein Hinweis auf mathematische Kompetenz

Wenn die Dartsellungsmöglichkeit des Taschenrechners überschritten ist gibt es die Möglichkeit den Rechner des Internet zu nutzen: der hat damit kein Problem.

Ein neuer Gedanke zum Junge-oder-Mädchen-Problem, der mich, zugegeben, überrascht hat.

Angenommen, wir haben eine Familie mit 2 Kindern. Wir wissen, eines davon ist ein Junge.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind?

Bereits dies kann so nicht beantwortet werden.
Der Begriff der Wahrscheinlichkeit bedeutet, dass wir ein Zufallsexperiment oft genug durchführen und dann schauen, wie häufig ein bestimmtes Ergebnis auftritt. Der Anteil ist dann die Wahrscheinlichkeit.

In obiger Situation können wir dabei auf eine natürliche Art sowohl die Antwort 1/3 als auch die Antwort 1/2 korrekterweise erhalten.

1. Wir haben eine große Menge an Familien mit 2 Kindern. Wir wählen zufällig eine Familie aus, die mindestens einen Jungen hat.
Wir haben nun eine Familie mit zwei Kindern, von denen eines ein Junge ist.
Dann wird in 1/3 der Fälle das andere Kind auch ein Junge sein.

Bei diesem Vorgehen ergibt sich für die obige Wahrscheinlichkeit also 1/3.

2. Wir haben eine große Menge an Familien mit 2 Kindern. Wir wählen zufällig ein Kind aus, das ein Junge sein muss.
Wir haben nun eine Familie mit zwei Kindern, von denen eines ein Junge ist.
Dann wird in der Hälfte der Fälle das andere Kind auch ein Junge sein.

Bei diesem Vorgehen ergibt sich für die obige Wahrscheinlichkeit also 1/2.

Nachweis von 1: Sei J der Fall, dass wir aus den Familien eine Familie mit einem Jungen auswählen, und JJ der Fall, dass in der Familie beide Kinder Jungen sind. Gesucht ist P(JJ gegeben J).

Es ist P(JJ gegeben J) = P(JJ und J) / P(J).
Wenn wir eine Familie mit zwei Jungen haben, hat sie offensichtlich mindestens einen Jungen. Also ist (JJ und J) = JJ.
Klar: Es ist P(JJ) = 1/4.
Ebenfalls schon vorher festgestellt: Es ist P(J) = 3/4, denn die Familien können die Kinder in den Arten JJ, JM, MJ, MM geboren haben. Wir betrachten nur die Familien mit JJ, JM bzw. MJ und *wählen aus diesen* eine Familie zufällig aus. Diese Gruppe von Familien hat in der größeren Gruppe aller Familien einen Anteil von 3/4. Daher ist P(J) = 3/4.

Damit erhalten wir: P(JJ gegeben J) = (1/4) / (3/4) = 1/3.

Nachweis von 2: Sei j der Fall, dass wir aus den Familien ein Kind auswählen, das ein Junge ist. Gesucht ist P(JJ gegeben j).

Da hier Junge und Mädchen völlig gleich häufig auftreten, ist P(j) = 1/2.
Wieder ist offensichtlich (JJ und j) = JJ und P(JJ) = 1/4 (wie oben). Also ist

P(JJ gegeben j) = P(JJ und j) / P(j) = P(JJ) / P(j) = (1/4) / (1/2) = 2/4 = 1/2.

Der Nenner, d.h. die Bedingung, macht den Unterschied. Im 1. Fall haben wir eine größere Menge von Familien mit einem Jungen, die wir betrachten, als im 2. Fall. Im 2. Fall ist diese Menge von Familien stärker eingeschränkt. Dadurch erhöht sich die "Wahrscheinlichkeit des Erfolgs", dass das andere Kind auch ein Junge ist.

Obiges ist unabhängig davon, ob wir evtl. den Jungen "sehen" und was daraus folgt. So ähnlich ist dies dargestellt (ohne die genannte Idee, dass man große Anteile in einem Experiment ermittelt) im englischen Wikipedia-Artikel zu diesem Problem, der mehr ins Detail geht als der deutsche:

en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

Der letzte Satz haut mich jetzt aber glatt vom Hocker, bescherte mir einen Lachanfall, stützte meine Meinung dass Mathematiker Fachidoten sind, die mit kompliziertesten Formeln rechnen richtig rechnen bei einfachen Alltagsproblemen aber versagen, machte mich aber auch betroffen, weil Manni5 in der Rangliste auf Platz 3 ist, okay sehe jetzt er hat 36 in Worten sechsunddreissig Auszeichnungen, alle Blitz,vielleicht ist er ja nur schnell, im Profil geht seine gerade gleichmäßig nach oben, kann wohl daran liegen, das er selten gegen eleriesen spielt, ha, kein wunder , muss so sein wenn man oben steht.

aber das ist ein anderes Thema. zurück zum Problem.

Manni schreibt: ein neuer Gedanke zum Junge-oder-Mädchen-Problem, der mich, zugegeben, überrascht hat. Neuer Gedanke? so haben doch schon von Anfang an hier einige argumentiert, unter anderem ich. Angenommen, wir haben eine Familie mit 2 Kindern. Wir wissen, eines davon ist ein Jung. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind? Bereits dies kann so nicht beantwortet werden. Da stimme ich Manni5 voll und ganz zu, mit Wahrscheinlichkeit kann dies nicht beantworten werden. Begründung: es gibt keine Wahrscheinlichkeit, eben weil aus der Wahrscheinlichkeit eine Tatsache geworden ist. Die Familie hat zwei Kinder, beide Jungen, bums aus Nikolaus. Mist, jetzt hab ich schon wieder geflunkert, klar kann ich das mit einer Wahrscheinlichkeitsrechnung machen: Ergebnis: 100%

übrigens, mal was aus der Praxis: ich bin an Mathe und Französisch gescheitert und mit mittlerer Reife vom Gymnasium abgegangen. Mit 17, da haben andere wegen der Kurzschuljahre schon fast Abi gebaut.

Habe dann Bankkaufmann gelernt, und 1991 Burnout bekommen. Der Stress mit den anderen Abteilungsleitern hat mir den letzten Nerv geraubt. Ich kam morgens in die Bank, hab geschuftet wie ein Ackergaul. Nächtelang hab ich gegrübelt, wer muss gehen, meine Abteilung wurde
verkleinert, dabei waren mir doch alle lieb und teuer.Dann kamen die Fehler, meine Arbeitsleistung ging dramatisch nach unten, ich war unkonzentriert, hatte Stimmungsschwankungen.Aber ich hatte Glück, meine Fehler konnten alle geradegebogen werden, kosteten die Bank kein Geld.Irgendwann hatte ich dann ein aha-Erlebnis. Ich blieb dann zuhause entgiftetere Körper und Seele und nach einem halben Jahr habe ich mich bei der IHK angemeldet und die Nahverkehrserlaubnis erworben. Bis ich die bekommen habe, fuhr ich für einen Freund im Güternahverkehr. als ich die Erlaubnis hatte ok, was Solls, ich hör auf, interessiert wohl eh nicht.

Und Jens hatte mich im Fussballthreat geoutet, da wissen ja einige schon etwas über mich, von mir. ach das ist ja sowas von schietegall. An einer sehr grossen schicken Villa in Binz auf Rügen: wenn du mi argern wist, bliev buten, sollst inne See versupen. Kommst du als frund to mi, tritt ein Gott segne di!

P.S. Ich hatte schon mehrere Krisen in meinem Leben und bin sicher, ohne meine Frau hätte ich die nicht überstanden. Die Liebe hat sich geändert, kein Wunder nach 42 Jahren, aber sie ist noch da.

Der Weg nach Rom

ist das Problem inzwischen gelöst? und wenn ja , wie lautet die Antwort?

siehe Post 181 (S. 10)

danke Halbkopf auch für die 10

Es gibt aber noch mindestens eine weitere Lösung für dieses Problem.

Wie lautet sie?