Matheaufgabe

Mathematische Wahrscheinlichkeitsrechnung hat nichts mit dem Zufall im tatsächlichen Leben zu tun.
Hier wirken die Zufallsgesetze (deshalb werden bei großen Zählversuchen nie die mathematischen Wahrscheinlichkeiten herauskommen, leicht zu prüfen an der Statistik der Lottozahlen).
Eines der wichtigsten Zufallsgesetze ist:
Wenn eine Reihe wirklich zufällig ist, treten einzelne Elemente gehäuft auf.
In diesem Fall eben das Element KK.

@Halbkopf

Mathematische Wahrscheinlichkeitsrechnung hat nichts mit dem Zufall im tatsächlichen Leben zu tun.


Dieser Satz von dir ist, wie schon @Gambitspieler schrieb, völlig falsch, das Gegenteil ist richtig. Der dazugehörige Satz ist
Das empirische Gesetz der großen Zahl, bitte einfach googeln.

Tschö mit ö und Tschüss mit üss

Zum empirischen Gesetz der großen Zahl meint Gambitspieler, 28.026 Ziehungen

(Stand 10.02.23 - Abruf unter dielottozahlende.net/lotto-6-a…eufigkeit-der-lottozahlen)
seien zu wenige, um dieses zu widerlegen.
(Hier genügt zur Widerlegung bereits die Ziehung des einzelnen Elementes (Zahl), Kombinationen sind nicht nötig.
Abweichungen von mehr als 10% von der mathematischen Wahrscheinlichkeit - 1/49 = 2,04 % - die 6 wurde 635x von 28.026 gezogen = 2,27%, die 13 wurde 513x gezogen = 1,83%)
Tschuldigung, aber ab wann soll es denn dann widerlegt sein?

Ich hatte irgendwo mal ein Beispiel gelesen, daß sich jemand über Jahre hinweg bemühte, das empirische Gesetz der großen Zahl durch Münzwürfe nachzuweisen.
Zum Schluß hat er es aufgegeben, weil es einfach nicht im wahren Leben gilt.
Im wahren Leben gelten die Zufallsgesetze.

@Halbkopf

Ich hatte irgendwo mal ein Beispiel gelesen, daß sich jemand über Jahre hinweg bemühte, das empirische Gesetz der großen Zahl durch Münzwürfe nachzuweisen.
Zum Schluß hat er es aufgegeben, weil es einfach nicht im wahren Leben gilt.
Im wahren Leben gelten die Zufallsgesetze.

Mir ist nicht ganz klar, was du uns mitteilen willst? Dass das Gesetzt falsch ist? Nein, man hat es schon im 18. Jahrhundert bewiesen. Dass es nicht im wahren Leben gilt? Falsch, hier nur drei Anwendungen aus dem Wikiartikel:

Versicherungswesen:
Das Gesetz der großen Zahlen hat bei Versicherungen eine große praktische Bedeutung. Es erlaubt eine ungefähre Vorhersage über den künftigen Schadensverlauf. Je größer die Zahl der versicherten Personen, Güter und Sachwerte, die von der gleichen Gefahr bedroht sind, desto geringer ist der Einfluss des Zufalls. Das Gesetz der großen Zahlen kann aber nichts darüber aussagen, wer im Einzelnen von einem Schaden getroffen wird. Unvorhersehbare Großereignisse und Trends wie der Klimawandel, die die Berechnungsbasis von Durchschnittswerten verändern, können das Gesetz zumindest teilweise unbrauchbar machen.
Medizin:
Beim Wirksamkeitsnachweis von medizinischen Verfahren kann man es nutzen, um Zufallseinflüsse auszuschalten.
Naturwissenschaften:
Der Einfluss von (nicht systematischen) Messfehlern kann durch häufige Versuchwiederholungen reduziert werden.
(Quelle: de.m.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_gro%C3%9Fen_Zahlen)

Hier ist ein Artikel, der die Lottozahlen untersucht. Er legt etwas andere Ziehungen (Zeitraum 1955-2009 mit 4792 Ausspielungen) und damit Zahlen zu Grunde, als oben von @Halbkopf angegeben, aber im Prinzip ähnliche:

math.kit.edu/stoch/~henze/seit…/media/2012_sis_lotto.pdf

Die 13 wurde, wie oben, am wenigsten gezogen: 524 mal
Der Durchschnitt wäre 587 mal.
Also auch hier eine Abweichung von mehr als 10 %.

Sogar mathematisch formuliert:
Das Ergebnis (und auch noch ein anderes) liegt unterhalb der vom Erwartungswert subtrahierten doppelten Standardabweichung der Binomialverteilung. Liegen hier ”signifikante Abweichungen vom Erwarteten“ vor?

Man muss beachten, dass "6 aus 49" gespielt wird, also 6 Zahlen gezogen werden.
Dann kann man die Binomialverteilung nicht in dieser Weise anwenden.
Man muss alle 49 Ziehungsmöglichkeiten berücksichtigen.

Die Details werden im Artikel erklärt. Der Artikel rechnet das dann im Detail vor. Resultat (ganz am Ende):

"Die beobachtete Schwankungsbreite ist völlig vereinbar mit den Annahmen der stochastischen Unabhängigkeit verschiedener Ausspielungen und der Gleichwahrscheinlichkeit aller Sechserauswahlen pro Ausspielung."

Ich habe den Artikel nicht im Detail überprüft. Wenn man den Artikel liest (es versucht ...), merkt man aber, dass er von einem Fachmann geschrieben wurde. Der Autor ist:
Prof. Dr. Norbert Henze. Institut für Stochastik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT)

Da er seinen Namen darunter setzt und anerkannter Stochastiker ist, kann man sich sehr sicher sein, dass seine Darstellung stimmt.

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@Halbkopf

Bei den Versicherungen geht es um Geld, um *viel* Geld, um *sehr viel* Geld -- um erheblich mehr als im Lotto.
In den Versicherungen werden sehr viele Mathematiker und Statistiker beschäftigt. Das Versicherungswesen galt sogar als ein klassisches Arbeitsgebiet für Mathematiker. Erstaunlich, nicht wahr?

Vielleicht sollten wir hier auch über das Thema Erwartungswert sprechen, wenn Wahrscheinlichkeiten auf ein derart grosses Interesse stoßen. Spiele mit negativem Erwartungswert sollte man eigentlich nicht spielen, aber bei jedem Versicherungsvertrag handelt es sich um ein solches. Warum schließt man ihn dann ab?

Warum spielt man Lotto (oder im Casino), wenn doch der Erwartungswert für einen Gewinn negativ ist, das Spiel also ungerecht ist?

Mit ganz, ganz viel Üben kann man erreichen, dass der Erwartungswert beim Black Jack positiv wird.

... das hat vor bereits langer Zeit jemand in den USA geschafft. Er hatte die bereits gezogenen Karten u.a. per Fußstellungen kodiert.
Die Casinos sperrten ihn. Dagegen ging er vor Gericht.
Die Casinos sagten, er betreibe es nicht mehr als Glücksspiel, sondern als Geschicklichkeitsspiel.
Black Jack werde als Glücksspiel angeboten. Ich glaube, die Casinos gewannen.

Hier als Ergänzung zu Manni ein kurzer Überblick:

wwwdid.mathematik.tu-darmstadt…tenaufgabe/BlackJack.html

Blackjack ist mein Spezialthema. Bei meinen 61 Casino-Besuchen seit Beginn der 1990er Jahre bin ich ca. 150.- -€ im Plus (ein miserabler Stundenlohn). Dabei beherrsche ich nur die sog. Basisstrategie, mit der man als Spieler immer noch einen ganz leicht negativen Erwartungswert hat. Die sog. Zählverfahren, mit denen einige Leute in vergangenen Jahrzehnten sehr reich wurden - beginnend mit Edward Thorpe (sehr lesenswert sein Buch: Beat the Dealer) - lohnen sich heute, zumindest in Österreich, wo ich die meisten Casino-Besuche machte, nicht mehr. Denn die Casinos setzen Karten-Mischmaschinen ein.
Ganz genau werden die Einzelwahrscheinlichkeiten für alle auftretenden Fälle beim Blackjack in dem Buch "Blackjack" von Charles Cordonnier behandelt. Er begründet mathematisch die Basisstrategie.
Im Spiegel Nr. 38/2022 wurde von einer Gruppe deutscher Mathematiker/Astrophysiker berichtet, die vor ca. 50 Jahren schon mit selbstgelöteter Elektronik französische Casinos beim Blackjack überlisteten.

Zum Wochenende mal drei Aufgaben, viel Spaß.

Stochastik: Wie viele Einwohner muss ein Dorf mindestens haben, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Einwohner heute Geburtstag hat, größer als 99 % ist? (Schaltjahre/29.2. ignorieren!)

Analysis: Über eine 200 m breite Schlucht führt eine Hängebrücke, deren beiden Enden auf gleicher Höhe liegen. Die Brücke hängt in der Mitte 30 m durch. Vereinfacht nehmen wir an, dass die Brücke längs einer Parabel verläuft (in Wirklichkeit ist es cosh). Wie lang ist die Brücke in cm?

Geometrie: siehe Grafik.

Bitte die Aufgaben nicht wieder mit irgendwelchen Spitzfindigkeiten torpedieren, danke.

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@Butjenter, post 419