Matheaufgabe
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Butjenter schrieb:
Täglich poste ich seit fast 3 Jahren eine Aufgabe auf meinem WA-Status. Hier mal die letzte, die allerdings nicht von mir ist.
20230224_103518.jpg
Spoiler anzeigen
Aus der Aufgabe ersichtlich gelte
n²=(4x+25)/(x-20) mit n € N
das führt zu x=(20*n²+25)/(n²-4)
nun ist lim (20*n²+25)/(n²-4) = 20
damit müssen lediglich alle n durchprobiert werden, für die
(20*n²+25)/(n²-4)>= 21 [(20*n²+25)/(n²-4) nähert sich ab n>2 von oben an 20 an]
x eine ganze Zahl ergibt,
Nun gilt (20*n²+25)/(n²-4)<21 ab n>=11
Berechnungen von n=0 bis n=10 ergeben bei L(n) = {1,3,5} für x ganze Zahlen.
Somit x € {-15, 41, 25} und damit
Sum L(x) = 51
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Spoiler anzeigen [Ich komme auf die Summe 51] -
Zum von @Schroeder angegebenen Schachrätsel Matheaufgabe
Die Auflösung von Arne Kähler und Prof. Christian Hesse ist erfolgt, siehe (unter dem Video)
de.chessbase.com/post/hesse-s-…eizen-auf-dem-schachbrett
Wie hier angegeben, ist a = 4, b = 3 die einzige Lösung.
Der Nachweis im Chessbase-Artikel ist ähnlich zu den Argumenten hier, aber etwas straffer angegeben. Die Begründung, dass die Summe s = a + b nicht größer/gleich 8 sein kann, ist kürzer, da sie ohne Fallunterscheidung s gerade bzw. ungerade auskommt; man kann direkt die Zerlegungen s = 4 + (s-4) und s = 6 + (s-6) und die dazu gehörigen Produkte betrachten.
Nun fiel mir auf (das ist in Chessbase nicht angegeben):
Bei dem Problem ging es darum, wie man aus "Wissen über das Nichtwissen" mathematische Folgerungen schließen kann. Die Voraussetzungen waren (siehe @Schroeders Post oder Chessbase-Artikel):
1. Sato: "Ich weiß nicht, was a und b ist."
2. Poru: "Ich weiß auch nicht, was a und b ist."
3. Sato: "Aha, jetzt weiß ich, was a und b ist."
4. Poru: "Aha, jetzt weiß ich es auch."
Bei den Begründungen für die Lösung wird aber Annahme 4 gar nicht verwendet.
D.h. wir können das Problem auch so formulieren:
1. Sato: "Ich weiß nicht, was a und b ist."
2. Poru: "Ich weiß auch nicht, was a und b ist."
3. Sato: "Aha, jetzt weiß ich, was a und b ist."
-- Damit wissen wir, was a und b ist. Wieso?
Dies schließt dann natürlich ein, dass Poru es auch weiß.
Der Unterschied ist: Poru kennt das Produkt, wir nicht. Wir erschließen das allein mit Kenntnis von 1.-3.Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von Manni5 () aus folgendem Grund: Tippfehler
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Die Lösung von Arne Kähler und Prof. Christian Hesse scheint zu kurz zu sein.
Sie untersuchen für s = a+b größer/gleich 8 die Zerlegungen
s = 4 + (s-4) und s = 6 + (s-6)
Aber im Fall s = 10 klappt das nicht, denn es ist dieselbe Zerlegung: a = 4, b = 6.
In diesem Fall müssen sie auch noch die Zerlegung s = 10 = 2 + 8 mit den beiden Produktzerlegungen
16 = 4 x 4 = 2 x 8 betrachten, um ihn ausschließen zu können. -
Eine meiner vielen Lieblingsaufgaben:
Der Vulkan Xyhöiärtheixömtily auf Island bricht in den nächsten 10 Jahren ab heute mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % mindestens einmal aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bricht er (ab heute wieder) im nächsten Jahr mindestens einmal aus? Jahre alle gleichlang! -
ich würde hier ganz naiv sagen: Mit einer WS von 9%. Ist aber wahrscheinlich zu kurz gedacht.
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Spoiler anzeigen Die Wahrscheinlichkeit, dass der Vulkan in den nächsten 10 Jahren *nicht* ausbricht, ist 10 % oder 0,1.
Wir nehmen an, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausbruchs in einem Jahr von den Vorgängen (Ausbruch oder nicht) in den anderen Jahren jeweils unabhängig ist.
Die Wahrscheinlichkeit, dass er in einem Jahr nicht ausbricht, sei x.
Es ist also 0,1 = x^10 (x hoch 10).
Somit ist x = 10-te Wurzel aus 0,1 (ungefähr 0,79) und
die gesuchte Wahrscheinlichkeit des Ausbruchs im kommenden Jahr ist 1-x, ungefähr 21 %. -
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Spoiler anzeigen k = (1 + wurzel(5)) / 2 = 1,618...
Das ist die Goldene Zahl Phi.
Sehr schöne Aufgabe!
Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von Schroeder ()
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@Butjenter: Sehr schön!
Spoiler anzeigen [Ich komme auf: k = tan(0,5 arctan 3 + 22,5 Grad), also ca. 1,6180] -
Gibt es eine geometrische Begründung oder Herleitung dafür, dass k der Goldene Schnitt ist?
Wenn man Dreiecke zeichnet, erhält man 1) 3 = tan(45 Grad + 2 x beta) und 2) k = tan(45 Grad + beta).
Aus Gl. 1 folgt mit dem Additionstheorem für Tangens und etwas Rechnerei, dass tan(beta) = sqrt(5) - 2.
Hieraus folgt mit Gl. 2 und abermals dem Additionstheorem dann @Schroeders exakte Lösung für k.
Aber gibt es einen anderen Weg? (ich sehe ihn nicht) -
Eine geometrische Begründung kenne ich leider nicht.
Eine Herleitung: Die goldene Zahl ist ja (sqrt(5)+1)/2. Jetzt muss man ja nur noch zeigen, dass sich dieses auch ergibt, wenn man
tan(0,5 atan(3) + 0,5 atan(1)) berechnet. Hab's versucht, bin aber gescheitert, traurig -
Wie wäre es mit dem Winkelhalbierendensatz (WHS): Eine Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten.
Zeichnet man bei x=1 eine Senkrechte, so erhält man ein Dreieck mit den Seiten(längen)
a=sqrt(2) (Steigung 1)
2=b=b1+b2 (Mit b1<b2, also b1 an a und b2 an c)
c=sqrt(10) (Steigung 3)
Wegen (WHS) gilt b2/b1=c/a=sqrt(5) und damit 2=b=b1(1+sqrt(5)) oder b1=1/p mit p=(1+sqrt(5))/2 (dem goldenen Schnitt).
Dann ist direkt k=1+b1=1+1/p=p (letztes '=', da 0=p²-p-1).
Einfache Geometrie und kein Verzetteln mit Winkelfunktionen.Der Mensch sollte zwei Fehler vermeiden:
1) Mehr scheinen zu wollen als er ist.
2) Sich weniger zu schätzen, als er wert ist.
--- Nasreddin -
Eigentlich braucht man doch nur den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden:
tan(y=x, y=kx)=tan(y=kx, y=3x) also
(k-1)/(1+k)=(3-k)/(1+3k) und erhält für k den goldenen Schnitt. -
Gerade auf FB nen hübschen Beweis gesehen für 0,999...= 1
x = 0,999...
10x = 9,999... unten minus oben
9x = 9
x = 1 q.e.d. -
Wenn alle Probleme so einfach zu beweisen wären, wie sie beschrieben werden können, dann wäre die Mathematik sehr langweilig. Ich schlage mich ja schon länger mit einem solch "einfachen" Problem herum, das so vor ca. 22 Jahren mein Informatiklehrer mitgebracht hatte:
Man nehme eine natürliche Zahl (trotz gegenlautender Meinungen zählt die 0 nicht dazu). Ist diese gerade, so halbiere man um die nächste Zahl zu erhalten. Ist diese ungerade, so multipliziere mit drei und addiere eins. Diese Folge scheint (bestätigt bis zu ca. 5*2^60) immer im Zyklus 1,4,2,1,... zu landen.
Dieses "3x+1"-Problem ist unter verschiedenen Namen verbreitet und hat auch mich viel Zeit gekostet. Fraglich ist auch, ob diese Aussage entscheidbar ist.Der Mensch sollte zwei Fehler vermeiden:
1) Mehr scheinen zu wollen als er ist.
2) Sich weniger zu schätzen, als er wert ist.
--- Nasreddin -
Ein toller Artikel dazu mit wunderschönem Video
futurezone.at/science/mathemat…3n1-terence-tao/401862680 -
Nach langer Suche ist es mir kurz vor Ostern endlich gelungen, die Eierfunktion zu entdecken. Lässt man f(x) im Intervall [0;6] um die x-Achse rotieren, so entsteht das perfekte Osterei, na also. Hierzu lassen sich viele nette Aufgaben stellen:
- Man stellt das Ei senkrecht, wie breit ist es an der dicksten Stelle?
- Welches Volumen hat das Ei in cm³?
- Welche Fläche hat der abgebildete Querschnitt in cm²?
- Welchen Umfang hat der Querschnitt?
- Frische Hühnereier haben eine Dichte von 1,07 g/ cm³. Welche Gewichtsklasse hat unser Ei?
- An der Stelle x=2 wird das Ei geköpft. Wie viel Prozent des Volumens hat die Kappe?
- Wurde das Ei von einem jungen oder älteren Huhn gelegt?
- Und noch ein Klassiker: 6 Hühner legen 6 dieser Eier in 6 Tagen. Wie viele Eier legen dann 9 Hühner in 9 Tagen?
Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von Butjenter ()
- Man stellt das Ei senkrecht, wie breit ist es an der dicksten Stelle?
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