Matheaufgabe

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Habt ihr schon an Mischen gedacht?
Aus 50 Fässern wird ein Krug entnommen und diese Mischung von einem Vorkoster probiert..

Genial Pattologe

@ Patologe2: Ich finde Deine Methode auch super. Einziges praktisches Hindernis: Der arme Vorkoster, der für die Einerstelle zuständig ist, muss bis zu 50 Weinproben machen. Ob ihm da nicht versehentlich zu früh schlecht wird?

@Andramoi: Du hast recht, das ist nicht fair. Es gibt auch eine Einteilung, bei der jeder maximal 43 Proben zu schmecken bekommt.

GPT-4 und der Vorgänger ChatGPT wurden beauftragt, einen Beweis zu schreiben, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Das konnten beide.

Zusatz: es sollte in Reimform sein.
(zum Testen, inwieweit sie verschiedene Arten von Intelligenz kombinieren können)

Und weiterer Zusatz: in Form eines Shakespeare-Stücks, in dem zwei Partner dies miteinander besprechen

Danach: GPT-4 sollte beide Lösungen, von GPT-4 bzw. von ChatGPT, vergleichen und bewerten, wie ein Lehrer.

Resultat, Besprechung und Link siehe ki: nutzen und gefahren- insbesondere in soziologischer hinsicht
(möchte es nicht kopieren, um Doppelung zu vermeiden).

Die Hochbett-Vermutung aus dem Jahr 1985 wurde kürzlich gelöst.
Man dachte, sie ist richtig, aber:
Ein Student hat herausgefunden, sie ist *falsch*, es gibt Gegenbeispiele!

Die Vermutung geht über Graphen und lässt sich elementar erklären.
Im Graphen G sind die Ecken (mitunter) mit Linien, also Kanten ohne Richtungen verbunden.
Man nimmt nun eine Kopie G' von G, ordnet G' oberhalb von G an
und zeichnet senkrechte Balken von einigen Ecken von G zu den genau darüber liegenden Ecken in G'.

Diese senkrechten Kanten kann man als Stützbalken ansehen, wodurch man ein "Hochbett" erklärt, daher der Name. G ist die untere Etage und G' die obere Etage.

Nun löscht man aus G und aus G' Kanten unabhängig voneinander mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit, z.B. 1/2. Die Stützbalken bleiben bestehen.

Nun wähle zwei Ecken u, v in G.
Es kann sein, dass u und v noch durch einen Pfad im Hochbett oder sogar in G verbunden sind, oder auch nicht.
Evtl. sind auch u und v', die im Hochbett über v liegende Ecke, im "Hochbett" durch einen Pfad verbunden -- dafür kann ich ja auch die Stützbalken verwenden.

Die Hochbett-Vermutung sagt: die Wahrscheinlichkeit, dass u und v verbunden sind, ist mindestens so hoch wie die Wahrscheinlichkeit, dass u und v' verbunden sind.

Dies ist intuitiv naheliegend und wurde für viele Graphen verifiziert.
Es war ein aktives Forschungsfeld auch in der sog. Perkolationstheorie.

Der Student versuchte, mit dem Computer und auch mit neuronalen Netzwerken, also KI, zur Konstruktion von Graphen ein Gegenbeispiel zu finden. Damit scheiterte er aber.

Dann verwendeten sie (ich nehme an, er und sein Betreuer) eine kürzliche mathematische Arbeit aus der Graphentheorie und passten die Methoden an.

Damit erhielten sie ein Gegenbeispiel mit 7222 Ecken und ca. 14000 Kanten.
Danach fanden sie auch kleinere Gegenbeispiele.

Der Preprint im arXiv:

arxiv.org/abs/2410.02545

Ein Wikipedia-Artikel zur Hochbett-Vermutung:

en.wikipedia.org/wiki/Bunkbed_conjecture

Ein sehr instruktives Video auf Deutsch ist



Der Autor konnte den Unterschied der Wahrscheinlichkeiten exakt berechnen: ca. 10 hoch -44,
daher kann ein Computer diese Gegenbeispiele nicht finden.
Außerdem fand er kleinere Gegenbeispiele.

Jetzt sucht er offenbar jemanden, der das nachrechnet und daraus ein Youtube-Video oder eine Arbeit macht.

Im Video merkt man ihm seine Begeisterung an, und er stellt auch sehr schön dar, dass und wie mathematische Überlegungen zum Erfolg führten.

Zum neuen Mathe-Adventskalender der DMV für Schüler/-innen:

mathekalender.de/?idU=1

In der Mathematik gibt es das "Steinhaus'sche Schachbrett-Theorem":

Satz: Gegeben ist ein Schachbrett, in dem die Felder ganz beliebig weiß oder schwarz gefärbt sind (statt genau abwechselnd).
Dann kann der König, wie üblich, vom linken Rand zum rechten Rand laufen, aber nur über weiße Felder,
oder aber der Turm kann vom oberen zum unteren Rand laufen, aber nur über schwarze Felder.

In den Artikeln werden die schwarzen Felder als "mit Minen versehen" bezeichnet und die weißen Felder als "minenfrei".

Steinhaus ist bekannt durch den Satz von Banach-Steinhaus in der Funktionalanalysis. Er hat aber auch in der Graphentheorie gearbeitet.

Zu obigem Satz siehe

en.wikipedia.org/wiki/Steinhau…ly%20on%20mined%20squares.

Der Beweis ist nicht trivial. Die ersten Beweise waren offenbar aufwändig und/oder sogar fehlerhaft.
Man kann die quadratischen Felder sogar durch Polygone ersetzen.
Für einen Beweis mit Algorithmus hierfür von knapp 2 Seiten siehe

dml.cz/bitstream/handle/10338.…arolinae_041-2000-2_7.pdf

Es gibt auch mehrdimensionale Verallgemeinerungen dieses Satzes, auf n Dimensionen mit n-dimensionalen Würfeln statt Quadraten.
Damit kann das Poincare-Miranda Theorem bewiesen werden, und mit diesem der Brouwer'sche Fixpunktsatz, ein sehr wichtiges Resultat der Topologie. Hierzu siehe

en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9%E2%80%93Miranda_theorem

1. Gibt es außer 45^2 noch andere interessante Darstellungen der Jahreszahl 2025?

2. Der Spiegel hat als „Rätsel der Woche“ ein interessantes Geometrieproblem gestellt.
Bitte selbst googeln. (Ich möchte kein Copyright verletzen.)
Ich habe eine Lösung durch aufwendige Rechnung gefunden und frage mich, ob es nicht viel
einfacher - ohne trigonometrische Funktion - geht.

(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)² = 2025.
0³ + 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ = 2025.

(20 + 25)² = 2025

20² + 40² + 5² = 2025

2 x 30² + 15² = 2025

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